等比數列知識點總結

　　等比數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數的一種數列，下面是小編收集整理的等比數列知識點總結，請參考！

　　等比數列知識點總結 1

　　1、等比數列的定義：

　　2、通項公式：

　　a n =a 1q n -1=a 1n q =A B n (a 1q ≠0, A B ≠0)，首項：a 1；公比：q

　　a n q =n a m a n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 稱為公比 a n -1推廣：a n =a m q n -m q n -m =

　　3、等比中項：

　　（1）如果a , A , b 成等比數列，那么A 叫做a 與b 的等差中項，即：A 2=

　　ab 或A =注意：同號的兩個數才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（

　　（2）數列{a n }是等比數列a n 2=a n -1a n +1

　　4、等比數列的前n 項和S n 公式：

　　（1）當q =1時，S n =na 1

　　（2）當q ≠1時，S n =

　　=a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q a 1a -1q n =A -A B n =A B n -A （A , B , A , B 為常數） 1-q 1-q

　　5、等比數列的判定方法：

　　（1）用定義：對任意的.n ，都有a n +1=qa n 或a n +1=q (q 為常數，a n ≠0) {a n }為等比數列 a n

　　（2）等比中項：a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) {a n }為等比數列

　　（3）通項公式：a n =A B n (A B ≠0){a n }為等比數列

　　6、等比數列的證明方法： a 依據定義：若n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n {a n }為等比數列 a n -1

　　7、等比數列的性質：

　　（2）對任何m , n ∈N *，在等比數列{a n }中，有a n =a m q n -m 。

　　（3）若m +n =s +t (m , n , s , t ∈N *) ，則a n a m =a s a t 。特別的，當m +n =2k 時，得a n a m =a k 2 注：a 1a n =a 2a n -1=a 3a n -2

　　a k （4）數列{a n }，{b n }為等比數列，則數列{}，{k a n }，{a n k }，{k a n b n }，{n （k 為非零b n a n

　　常數）均為等比數列。

　　（5）數列{a n }為等比數列，每隔k (k ∈N *) 項取出一項(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ) 仍為等比數列

　　（6）如果{a n }是各項均為正數的等比數列，則數列{loga a n }是等差數列

　　（7）若{a n }為等比數列，則數列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ，成等比數列

　　（8）若{a n }為等比數列，則數列a 1a 2a n ，a n +1a n +2a 2n ，a 2n +1a 2n +2a 3n 成等比數列

　　a 1>0，則{a n }為遞增數列{（9）①當q >1時，a 1<0，則{a n }為遞減數列

　　a 1>0，則{a n }為遞減數列{②當0

　　③當q =1時，該數列為常數列（此時數列也為等差數列）；

　　④當q<0時, 該數列為擺動數列.

　　（10）在等比數列{a n }中，當項數為2n (n ∈N *) 時，S 奇1= S 偶q

　　二、 考點分析

　　考點一：等比數列定義的應用

　　141、數列{a n }滿足a n =-a n -1(n ≥2)，a 1=，則a 4=_________． 33

　　2、在數列{a n }中，若a 1=1，a n +1=2a n +1(n ≥1)，則該數列的通項a n =______________． 考點二：等比中項的應用

　　1、已知等差數列{a n }的公差為2，若a 1，a 3，a 4成等比數列，則a 2=（ ）

　　A ．-4 B．-6 C．-8 D．-10

　　2、若a 、b 、c 成等比數列，則函數y =ax 2+bx +c 的圖象與x 軸交點的個數為（ ）

　　A ．0 B ．1 C．2 D ．不確定

　　203、已知數列{a n }為等比數列，a 3=2，a 2+a 4=，求{a n }的通項公式． 3

　　考點三：等比數列及其前n 項和的基本運算

　　2911、若公比為的等比數列的首項為，末項為，則這個數列的項數是（ ） 383

　　A ．3 B．4 C．5 D．6

　　2、已知等比數列{a n }中，a 3=3，a 10=384，則該數列的通項a n =_________________．

　　3、若{a n }為等比數列，且2a 4=a 6-a 5，則公比q =________．

　　4、設a 1，a 2，a 3，a 4成等比數列，其公比為2，則

　　A ．2a 1+a 2的值為（ ） 2a 3+a 4111 B ． C． D．1 428

　　等比數列知識點總結 2

　　等比數列公式性質知識點

　　1.等比數列的有關概念

　　(1)定義：

　　如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(不為零)，那么這個數列就叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為an+1/an=q(n∈N_，q為非零常數).

　　(2)等比中項：

　　如果a、G、b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.即：G是a與b的等比中項a，G，b成等比數列G2=ab.

　　2.等比數列的`有關公式

　　(1)通項公式：an=a1qn-1.

　　3.等比數列{an}的常用性質

　　(1)在等比數列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，則am·an=ap·aq=a.

　　特別地，a1an=a2an-1=a3an-2=….

　　(2)在公比為q的等比數列{an}中，數列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比數列，公比為qk；數列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比數列(此時q≠-1)；an=amqn-m.

　　4.等比數列的特征

　　(1)從等比數列的定義看，等比數列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數.

　　(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0.

　　5.等比數列的前n項和Sn

　　(1)等比數列的前n項和Sn是用錯位相減法求得的，注意這種思想方法在數列求和中的運用.

　　(2)在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q=1與q≠1分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情形導致解題失誤.

　　等比數列知識點總結 3

　　1.等比中項

　　如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項。

　　有關系：

　　注：兩個非零同號的實數的等比中項有兩個，它們互為相反數，所以G2=ab是a,G,b三數成等比數列的.必要不充分條件。

　　2.等比數列通項公式

　　an=a1_q’(n-1)(其中首項是a1，公比是q)

　　an=Sn-S(n-1)(n≥2)

　　前n項和

　　當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為

　　Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)

　　當q=1時，等比數列的前n項和的公式為

　　Sn=na1

　　3.等比數列前n項和與通項的關系

　　an=a1=s1(n=1)

　　an=sn-s(n-1)(n≥2)

　　4.等比數列性質

　　(1)若m、n、p、q∈N_，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq；

　　(2)在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列。

　　(3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

　　(4)等比中項：q、r、p成等比數列，則aq·ap=ar2，ar則為ap，aq等比中項。

　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底指數冪后構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。

　　(5)等比數列前n項之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

　　(6)任意兩項am，an的關系為an=am·q’(n-m)

　　(7)在等比數列中，首項a1與公比q都不為零。

　　注意：上述公式中a’n表示a的n次方。

　　等比數列知識點總結 4

　　等比數列：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的`公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。

　　1：等比數列通項公式：an=a1_q^(n-1)；推廣式：an=am·q^(n-m)；

　　2：等比數列求和公式：等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

　　①當q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

　　②當q=1時，Sn=n×a1(q=1)記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　3：等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。

　　4：性質：

　　①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am·an=ap_aq；

　　②在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列.

　　例題：設ak，al，am，an是等比數列中的第k、l、m、n項，若k+l=m+n，求證：ak_al=am_an

　　證明：設等比數列的首項為a1，公比為q，則ak=a1·q^(k-1)，al=a1·q^(l-1)，am=a1·q^(m-1)，an=a1·q^(n-1)

　　所以：ak_al=a^2_q^(k+l-2)，am_an=a^2_q(m+n-2)，故：ak_al=am_an

　　說明：這個例題是等比數列的一個重要性質，它在解題中常常會用到。它說明等比數列中距離兩端(首末兩項)距離等遠的兩項的乘積等于首末兩項的乘積，即：a(1+k)·a(n-k)=a1·an

　　對于等差數列，同樣有：在等差數列中，距離兩端等這的兩項之和等于首末兩項之和。即：a(1+k)+a(n-k)=a1+an

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