關于數列求和的解題方法總結

　　總結就是把一個時間段取得的成績、存在的問題及得到的經驗和教訓進行一次全面系統的總結的書面材料，它可以促使我們思考，讓我們來為自己寫一份總結吧。總結一般是怎么寫的呢？下面是小編整理的數列求和的解題方法總結，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

　　數列求和的教學設計

　　一教學知識點：

　　數列通項與數列求和

　　二.教學要求：

　　掌握數列的通項公式的求法與數列前n項和的求法。能通過轉化的思想把非等差數列與非等比數列轉化為兩類基本數列來研究其通項與前n項的和。

　　三.教學重點、難點：

　　重點：等差數列與等比數列的求和，及其通項公式的求法。

　　難點：轉化的思想以及轉化的途徑。

　　四.基本內容及基本方法

　　1、求數列通項公式的常用方法有：觀察法、公式法、待定系數法、疊加法、疊乘法、Sn法、輔助數列法、歸納猜想法等;

　　(1)根據數列的前幾項，寫出它的一個通項公式，關鍵在于找出這些項與項數之間的關系，常用的方法有觀察法、通項法，轉化為特殊數列法等.

　　(2)由Sn求an時，用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2這個條件，a1應由a1=S1來確定，最后看二者能否統一.

　　(3)由遞推公式求通項公式的常見形式有：an+1-an=f(n)，

　　=f(n)，an+1=pan+q，分別用累加法、累乘法、迭代法(或換元法).

　　2、數列的前n項和

　　(1)數列求和的常用方法有：公式法、分組求和法、錯位相減法、裂項相消法、倒序求和法等。

　　求數列的前n項和，一般有下列幾種方法：

　　(2)等差數列的前n項和公式：

　　Sn==.

　　(3)等比數列的前n項和公式：

　　①當q=1時，Sn=.

　　②當q≠1時，Sn=.

　　(4)倒序相加法：將一個數列倒過來排列與原數列相加.主要用于倒序相加后對應項之和有公因子可提的數列求和.

　　(5)錯位相減法：適用于一個等差數列和一個等比數列對應項相乘構成的數列求和.

　　(6)裂項求和法：把一個數列分成幾個可直接求和的數列.

　　方法歸納：①求和的基本思想是“轉化”。其一是轉化為等差、等比數列的求和，或者轉化為求自然數的方冪和，從而可用基本求和公式;其二是消項，把較復雜的數列求和轉化為求不多的幾項的和。

　�、趯ν�項中含有(-1)n的數列，求前n項和時，應注意討論n的奇偶性。

　�、鄣剐蛳嗉雍湾e位相減法是課本中分別推導等差、等比數列前n項和用到的方法，在復習中應給予重視。

　　【典型例題】

　　例1.已知數列{an}的前n項和Sn=n2-9n.

　　(1)求證：{an}為等差數列;

　　(2)求Sn的最小值及相應的n;

　　(3)記數列{

　　}的前n項和為Tn，求Tn的表達式。

　　解：(1)n=1時，a1=S1=-8

　　n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-10

　　∴an=2n-10an+1-an=2

　　∴{an}是等差數列.

　　(2)Sn=n2-9n=(n-

　　)2-

　　∴當n=4或n=5時，Sn有最小值-20.

　　(3)an=2n-10∴|an|=|2n-10|

　　令an≥0

　　n≥5∴當n≤4時，|an|=10-2n

　　Tn=

　　，當n≥5時，

　　Tn=-a1-a2-a3-a4+a5+a6+…+an

　　=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+a3+a4)=Sn-2S4

　　=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40

　　∴Tn=

　　《數列求和》教學設計

　　等比數列這個名詞是我們在數學中經常會用到的一個名詞，我們在初中的時候就開始學習等比數列，但是在升入高中以后可能還是對這一個難題束手無策，在這里，小編就要教教大家如何用等比數列求和，攻克這一個數學難題!

　　一.等比數列求和的教學基礎

　　1.知識結構

　　先用錯位相減法推出等比數列前項和公式，而后運用公式解決一些問題，并將通項公式與前項和公式結合解決問題，還要用錯位相減法求一些數列的前n項.

　　2.重點、難點分析

　　教學重點、難點是等比數列前項和公式的推導與應用.公式的推導中蘊含了豐富的數學思想、方法(如分類討論思想，錯位相減法等)，這些思想方法在其他數列求和問題中多有涉及，所以對等比數列前n項和公式的要求，不單是要記住公式，更重要的是掌握推導公式的方法.等比數列前n項和公式是分情況討論的，在運用中要特別注意q=1和q=1兩種情況.

　　3.學習建議

　�、俦竟潈热莘譃閮烧n時，一節為等比數列前項和公式的推導與應用，一節為通項公式與前項和公式的綜合運用，另外應補充一節數列求和問題.

　�、诘缺葦盗星皀項和公式的推導是重點內容，引導學生觀察實例，發現規律，歸納總結，證明結論

　�、鄣缺葦盗星皀項和公式的推導的其他方法可以給出，提高學生學習的興趣

　　④編擬例題時要全面，不要忽略的情況.

　�、萃�項公式與前n項和公式的綜合運用涉及五個量，已知其中三個量可求另兩個量，但解指數方程難度大

　�、扪a充可以化為等差數列、等比數列的數列求和問題.

　　二、等比數列求和公式

　　一個數列，如果任意的后一項與前一項的比值是同一個常數，且數列中任何項都不為0，

　　即：A(n+1)/A(n)=q(n∈N*)，這個數列叫等比數列，其中常數q叫作公比。

　　如：2、4、8、16......2^10就是一個等比數列，其公比為2，可寫為an=2×2^(n-1)通項公式an=a1×q^(n-1);

　　1.通項公式與推廣式

　　推廣式：an=am×q^(n-m)[^的意思為q的(n-m)次方];

　　2.求和公式

　　Sn=n×a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)S∞=a1/(1-q)(n->∞)(|q|<1)(q為公比，n為項數)

　　3.等比數列求和公式推導

　　①Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q)

　�、趒*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1)

　�、跾n-q*Sn=a1-a(n+1)

　�、�(1-q)Sn=a1-a1*q^n

　�、軸n=(a1-a1*q^n)/(1-q)

　�、轘n=(a1-an*q)/(1-q)

　　⑦Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

　　4性質簡介

　�、偃鬽、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq;

　　②在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列;等比數列的性質

　�、廴鬽、n、q∈N，且m+n=2q，則am×an=(aq)^2;

　�、苋鬐是a、b的等比中項，則G^2=ab(G≠0);

　�、菰诘缺葦盗兄�，首項a1與公比q都不為零

　　三.學習等比數列的方法

　　1知識與技能目標

　　理解用錯位相減法推導等比數列前n項和公式的過程，掌握公式的特點，并在此基礎上能初步應用公式解決與之有關的問題.

　　2.過程與方法目標

　　通過對公式的研究過程，提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質.

　　3.情感、態度與價值目標

　　通過學生自主對公式的探索，激發學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創新，磨練思維品質，并從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數學的嚴謹美.

　　4..教學重點、難點

　　①重點：等比數列前n項和公式的推導及公式的簡單應用.突出重點的方法：“抓三線、突重點”，即一是知識技能線：問題情境→公式推導→公式運用;二是過程方法線:從特殊、歸納猜想到一般→錯位相減法→數學思想;三是能力線：觀察能力→初步解決問題能力

　　.②難點：錯位相減法的生成和等比數列前n項和公式的運用.突破難點的手段：“抓兩點，破難點”,即一抓學生情感和思維的興奮點，激發他們的興趣，鼓勵學生大膽猜想、積極探索，并及時給予肯定;二抓知識的切入點，從學生原有的認知水平和所需的知識特點入手，教師在學生主體下給予適當的提示和指導.

　　淺析數列求和法

　　摘要：數列求和是高中數學知識中的重點和難點，它在高考中出現的頻率高，題型多種多樣，考查方式靈活。將數列求和的方法進行總結和歸納能夠幫助學生找到其中的解題規律，提高該類型題的成功率。

　　關鍵詞：高中數學；數列求和；方法；歸納

　　求數列的前n項和是數列題中的高頻考點。它的考查十分靈活，題型變化多樣，有以選擇題的方式出現，有的則是填空題，甚至還會以一道綜合大題的方式進行考查。本文通過用列舉典型題的方式，總結歸納了6種常見的數列求和方法，供大家參考。

　　一、倒序相加法

　　如果一個數列{an},與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。倒序相加法是數列求和當中應用最廣的一種解題方法，它的基本類型可以用公式表示為：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3…具體解法見下面的例題。

　　例：設等差數列{an},公差為d,求證：{an}的前n項和Sn=n（a1+an）/2

　　解：Sn=a1+a2+a3+…+an①

　　倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②

　　①+②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）+…+（an+a1）

　　又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

　　∴2Sn=n（a2+an）Sn=n（a1+an）/2

　　倒序相加法的解題關鍵就是要能夠看到首項和末項之間的關系，這就需學生要有一定的敏感度，一眼就能找準解題的方法，然后就是要細心地做。()因此，做數列題除了要注意總結和歸納解題方法外，大量的習題訓練也是十分必要的。

　　二、用公式法

　　對等差數列、等比數列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數列的前n項和公式進行求解。等差數列的基本求和公式為：Sn=（a1+an）n/2;變形公式為Sn=na1+n（n-1）d/2（d為公差）。等比數列的求和公式為：Sn=na1（q=1）；Sn=a1（1-qn）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q）（q≠1）（q為公比，n為項數）。利用公式來求數列之和是一種比較基本的題型，它的難度不大，只要掌握基本公式，并且具有一定的敏感度就能做對這類型的題。

　　三、裂項相消法

　　裂項相消法是數列求和中比較難的一類題型，因為它不好看出數列之間的規律。如果裂項不對，也不能將問題解出。裂項相消法的解題原理是：將數列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數列的前n項和。

　　四、錯位相減法

　　若在數列{an·bn}中，{an}成等差數列，{bn}成等比數列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整理后即可以求出{anbn}前n項和。

　　錯位相減法其實并不難，關鍵是要細心，要能找好兩個式子之間的對應項，如果二者相減的時候沒有找準對應項，即便思路再對，也會滿盤皆輸。因此，做任何一道數列題，都要求書寫工整，格式規范，以免造成不必要的失分。

　　五、疊加法

　　疊加法主要應用于數列{an}滿足an+1=an+f（n），其中f（n）在等差數列或等比數列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f（n），代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經過整理，可求出an,從而求出Sn.

　　六、分組求和法

　　分組求和法就是對一類既不是等差數列，也不是等比數列的數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，最后將其合并的方法。記住了這一類題型的特點，就能準確找到解題思路。

　　總之，數列求和以其靈活多變的出題方式和較高的錯題率成為高中數學中的難點。這類題雖然難，但也并不是無規律可循的。萬變不離其宗，教師在講課當中應該幫助學生多多總結歸納相關的解題技巧和解題方法，并配合適當的試題訓練；學生自身也要多思考，可以準備一個錯題記錄本時常翻看，有助于將這類問題消化吸收，最終將其完全掌握。

　　淺談高中數學教學方法新課改下高中數學教學存在的問題及對策在高中數學教學中倡導積極主動的學習方式

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