復合函數定義域
若函數y=f(u)的定義域是B,u=g(x)的定義域是A,則復合函數y=f[g(x)]的定義域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}綜合考慮各部分的x的取值范圍,取他們的交集。
求函數的定義域主要應考慮以下幾點:
⑴當為整式或奇次根式時,R的值域;
⑵當為偶次根式時,被開方數不小于0(即≥0);
⑶當為分式時,分母不為0;當分母是偶次根式時,被開方數大于0;
⑷當為指數式時,對零指數冪或負整數指數冪,底不為0(如,中)。
⑸當是由一些基本函數通過四則運算結合而成的,它的定義域應是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合,即求各部分定義域集合的交集。
⑹分段函數的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。
⑺由實際問題建立的函數,除了要考慮使解析式有意義外,還要考慮實際意義對自變量的要求
⑻對于含參數字母的函數,求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類討論,并要注意函數的定義域為非空集合。
⑼對數函數的真數必須大于零,底數大于零且不等于1。
⑽三角函數中的切割函數要注意對角變量的限制。
復合函數常見題型
(ⅰ)已知f(x)定義域為A,求f[g(x)]的定義域:實質是已知g(x)的范圍為A,以此求出x的范圍。
(ⅱ)已知f[g(x)]定義域為B,求f(x)的定義域:實質是已知x的范圍為B,以此求出g(x)的范圍。
(ⅲ)已知f[g(x)]定義域為C,求f[h(x)]的定義域:實質是已知x的范圍為C,以此先求出g(x)的范圍(即f(x)的定義域);然后將其作為h(x)的范圍,以此再求出x的范圍。