概率論知識點(diǎn)整理及習(xí)題答案
第一章 隨機(jī)事件與概率
1．對立事件與互不相容事件有何聯(lián)系與區(qū)別？
它們的聯(lián)系與區(qū)別是：
（1）兩事件對立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必對立。
（2）互不相容的概念適用于多個事件，但對立的概念僅適用于兩個事件。
（3）兩個事件互不相容只表示兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個，但可以都不發(fā)生。而兩個事件對立則表明它們有且僅有一個發(fā)生，即肯定了至少有一個發(fā)生。特別地，=A、AU= 、AI=φ。
2．兩事件相互獨(dú)立與兩事件互不相容有何聯(lián)系與區(qū)別？
兩事件相互獨(dú)立與兩事件互不相容沒有必然的聯(lián)系。我們所說的兩個事件A、B相互獨(dú)立，其實(shí)質(zhì)是事件A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率。而說兩個事件A、B互不相容，則是指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B不發(fā)生，或事件B發(fā)生必然導(dǎo)致事件A不發(fā)生，即AB=φ，這就是說事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率有影響。
3．隨機(jī)事件與樣本空間、樣本點(diǎn)有何聯(lián)系？
所謂樣本空間是指：隨機(jī)試驗(yàn)的所有基本事件組成的集合，常用 來記。其中基本事件也稱為樣本點(diǎn)。而隨機(jī)事件可看作是有樣本空間中具有某種特性的樣本點(diǎn)組成的集合。通常稱這類事件為復(fù)合事件；只有一個樣本點(diǎn)組成的集合稱為基本事件。在每次試驗(yàn)中，一定發(fā)生的事件叫做必然事件，記作 。而一定不發(fā)生的事件叫做不可能事件，記作φ。為了以后討論問題方便，通常將必然事件和不可能事件看成是特殊的隨機(jī)事件。這是由于事件的性質(zhì)
隨著試驗(yàn)條件的變化而變化，即：無論是必然事件、隨機(jī)事件還是不可能事件，都是相對“一定條件”而言的。條件發(fā)生變化，事件的性質(zhì)也發(fā)生變化。例如：拋擲兩顆骰子，“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為3點(diǎn)”及“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于33點(diǎn)”，則是不可能事件了；而“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于3點(diǎn)”則是必然事件了。而樣本空間中的樣本點(diǎn)是由試驗(yàn)?zāi)康乃_定的。例如：
（1）={3，4，5，L，18}。
（2）將一顆骰子連續(xù)拋擲三次，觀察六點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)，其樣本空間為 ={0，1，2，3}。
在（1）、（2）中同是將一顆骰子連續(xù)拋擲三次，由于試驗(yàn)?zāi)康牟煌錁颖究臻g也就不一樣。
4．頻率與概率有何聯(lián)系與區(qū)別？
事件A的概率是指事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小，其嚴(yán)格的定義為：
概率的公理化定義：設(shè)E為隨機(jī)試驗(yàn)， 為它的.樣本空間，對E中的每一個事件A都賦予一個實(shí)數(shù)，記為P(A)，且滿足
（1）非負(fù)性：0≤P(A)≤1；
（2）規(guī)范性：P( )=1；
（3）可加性：若A1,A2,L,An,L兩兩互不相容，有P(UAi)=∑P(Ai)。
i=1i=1∞∞
則稱P(A)為事件A的概率。
而事件A的頻率是指事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)n(A)與總的試驗(yàn)次數(shù)n之比，即n(A)為n次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的頻率。因此當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n為n
有限數(shù)時，頻率只能在一定程度上反映了事件A一定條件下做重復(fù)試驗(yàn)，其結(jié)果可能是不一樣的，所以不能用頻率代替概率。
不過由大數(shù)定律保證，頻率總能穩(wěn)定在某個固定數(shù)P(A)周圍，并且
→∞fn(A) n →P(A)，即頻率總有穩(wěn)定值。該穩(wěn)定值P(A)稱為事件A的概率。
有此得到概率的統(tǒng)計(jì)性定義：
在不變條件下做大量重復(fù)試驗(yàn)，稱在重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值p為事件A的概率，記為P(A)。
概率P(A)的性質(zhì)如下：
（1）P(φ)=0。
（2）若A1,A2,L,An兩兩互不相容，則P(UAi)=∑P(Ai)。
i=1i=1nn
（3）若A的對立事件記為，則P(A)=1 P()。
（4）若A B，則P(B A)=P(B) P(A)，且P(A)≤P(B)。
（5）P(AUB)=P(A)+P(B) P(AB)。
此性質(zhì)可推廣到任意有限個事件A1,A2,L,An，即
P(A1UA2UA3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) P(A1A2) P(A1A3)
P(A2A3)+P(A1A2A3)。
P(UAi)=∑P(Ai) ∑P(AiAj)+
i=1i=1i<jnnni<j<kn∑P(AiAjAk)+L+( 1)n 1P(A1LAn)。
熟練掌握概率的諸條性質(zhì)，有利于簡化復(fù)雜事件的概率計(jì)算，尤其要善于利用性質(zhì)3，把復(fù)雜事件的概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算逆事件的概率。
5．條件概率與無條件概率有何區(qū)別與聯(lián)系？
無論是無條件概率還是條件概率都必需滿足公理化定義。由條件概率定
$P(AB)/P(B)P(B)>0，則稱P(A|B)=義（若A、B為樣本空間 中的兩個事件，
為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。）可以看出P(A|B)是在事件“B發(fā)生”的條件（新條件）下事件A發(fā)生的概率，它與無條件概率（普通概率）P(A)的區(qū)別，就在于后者發(fā)生的條件，還是原來的條件（概率公理化定義中的條件）。這里所謂“無條件”是指“無新條件”，原來的條件并非可無。
無條件概率P(A)是在原來的樣本空間中計(jì)算事件A發(fā)生的概率，而條件概率P(A|B)可看作事件B發(fā)生后，在縮小的樣本空間中計(jì)算事件A發(fā)生的概率。因此求條件概率的一般方法如下：
（1）事件B發(fā)生后，在縮小的樣本空間中計(jì)算事件A發(fā)生的概率P(A|B)；
（2）在樣本空間中先計(jì)算P(AB)、P(B)，再按定義計(jì)算P(A|B)。
當(dāng)兩個事件A、B相互獨(dú)立時（事件A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率），有P(AB)=P(A)P(B)，此時P(A|B)=P(A)，即在事件A、B相互獨(dú)立條件下無條件概率與條件概率是一樣的。
6．如何使用全概率公式和Bayes公式?
全概率公式與Bayes公式應(yīng)用起來較為復(fù)雜，但應(yīng)用比較廣泛。在分析應(yīng)用全概率公式過程中，它把事件A的概率（不太好求）分解成幾個比較容易計(jì)算的事件概率之和，形似繁瑣，實(shí)則簡單。其關(guān)鍵是尋找一組兩兩互不相容事件A1，A2，L，An，使要研究的事件A UAi，即
i=1n
A=AA1UAA2ULUAAn，從而使問題轉(zhuǎn)化為求一組兩兩互不相容的簡單事件AA1，AA2，L，AAn的概率，然后用一次加法公式及乘法公式即可。或者把Ai看成A發(fā)生的原因，A是結(jié)果。而P(Ai)及P(A|Ai)（i=1，2，L，n）是較容易求得的，于是可有“原因”求“結(jié)果”。∑P(Ai)=1往往成為是否找對i=1n
A1，A2，L，An的檢驗(yàn)方法。如何找A1，A2，L，An要具體問題具體分析，現(xiàn)提出兩點(diǎn)供參考：
（1）A1，A2，L，An可看成導(dǎo)致事件A發(fā)生的一組原因，若事件A表示次品，則A1，A2，L，An必表示n個（臺）工廠（車間、機(jī)器）生產(chǎn)了次品；若事件A表示某種疾病，則必是n種病因A1，A2，L，An導(dǎo)致A發(fā)生。這些A1，A2，L，An的概率已知或容易求出，且在A1，A2，L，An發(fā)生的條件下A
發(fā)生的條件概率已知或容易求出，便可用全概率公式求A的概率。
（2）A1，A2，L，An是導(dǎo)致事件B發(fā)生的原因，各種原因的概率P(Ai)稱為先驗(yàn)概率，一般由實(shí)際或經(jīng)驗(yàn)給出。而P(Ai|B)是試驗(yàn)之后，找某種原因發(fā)生的可能性，它是后驗(yàn)概率，常用Bayes公式求之。因此Bayes公式有時稱為后驗(yàn)概率公式，它實(shí)際上是條件概率。是在已知結(jié)果發(fā)生的條件下，求導(dǎo)
當(dāng)P(A)、P(A1)及P(A|A1)致結(jié)果的某種原因的可能性大小。比如求P(A1|A)，
較容易求得時，就用Bayes公式，它是有“結(jié)果” 求“原因”。
7．n個事件相互獨(dú)立與n個事件兩兩獨(dú)立有什么聯(lián)系與區(qū)別？
由n個事件相互獨(dú)立與n個事件兩兩獨(dú)立的定義可知，后者是前者的條件，由前者可以推出后者，即相互獨(dú)立 兩兩獨(dú)立，反之不真。例如：設(shè)有四張卡片分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4。今任取一張，設(shè)事件A為取到1或2，事件B為取到1或3，事件C為取到1或4，則事件A、B、C兩兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立。
事實(shí)上，若設(shè)Ai表示取到標(biāo)以數(shù)字i（i=1,2,3,4）的卡片，則P(Ai)=。因此，P(A)=P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)=1， 214
同理，P(B)=P(C)=，而P(AB)=P[(A1UA2)I(A1UA3)]=P(A1)=1=P(A)P(B)， 412
同理，P(AC)=11=P(A)P(C)， P(BC)==P(B)P(C)， 44
1≠P(A)P(B)P(C)， 4所以事件A、B、C兩兩獨(dú)立。而 P(ABC)=P[(A1UA2)I(A1UA3)I(A1UA4)]=P(A1)=
所以事件A、B、C不相互獨(dú)立。
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