關于第二屆華杯賽決賽第一試的試題答案
決賽第一試試題與解答
圖55的30個格子中各有一個數字，最上面一橫行和最左面一豎列的數字已經填好，其余每個格子中的數字等于同一橫行最左面數字與同一豎到最上面數字之和(例如a=14+17=31)。問這30個數字的總和等于多少?
[解法]從題目的填數規則，我們知道，與12同一行的六個格子中都有12這個數，因此總和數中有六個12相加。與14同一行的六個格子中都有14這個數，所以總和數中有六個14這個數。同樣，與16同一行，與18同一行的格子中，分別都有六個16，六個18，也就是說，從行看總和中有六個12，六個14，六個16，六個18.它們的和是6×(12+14+16+18)
再從列看，與11同一列的五個格子中都有11這個數。所以在總和數中有五個11這個救。同樣分析，總和數中有五個13，五個15，五個17，五個19，它們之和是：
5×(11+13+15+17+19)
方格子中還有一個數10，此外，沒有別的數了。所以總和數=6×(12+14+16+18)+5×(11+13+17+19)+10
=745
第二屆華杯賽決賽第一試試題答案：[分析與討論]這道題，有的同學按填數規則把每個格于上的數都填出來，然后用硬加的辦法求出總和數。這樣做法個可取，因為如果行數列數很大時，這樣做的計算最大，硬加就很困難。因此應該采用巧算法。本題還有其它的巧算法，這里就不再敘述了。
另外需要提醒的是，不少問學思路是正確的，但忘了加10這個數。同學們不要輕視這種疏忽。
本題求一些數的和，在表現形式上是有新意的，平時同學們常做的求和問題，多數是求一串數的和，而本題是求一個表上所有數字之和。這種填著數的表格在工農業和科學試驗上是常用的。
平行四邊形ABCD周長為75厘米，以BC為底時高是14厘米(圖57);以CD為底時高是16厘米。求：平行四邊形ABCD的面積。
[解法]平行四邊形的面積=底×高
所以，平行四邊形ABCD的面積S=BC×14，
同樣S=CD×16，也就是CD=S。
所以BC+CD=S+S
=(+)×S
這就是×75=(+)×S
S=280(平方厘米)
答：平行四邊形ABCD的面積是280平方厘米。
[分析與討論]本題是求面積問題，解法很多。問學們可以試試其它解法再和上面的解法比較一下，看看哪種方法最簡便?
同一個問題，可以從不同角把它看成不同的數學問題，比如本題可以看成求面積問題，也可以看成“工程問題。這種能力的培養也是非常重要的。
一段路程分成上坡、平路、下坡三段。各段路程長之比依次是1∶2∶3三人走各段路所用時間之比次依是4∶5∶6。已知他上坡時速度為每小時3公里.路程全長50公里。問此人走完全程用了多少時間?
[解法]
上坡時間是(上坡路程)÷(上坡的速度)
=50×÷3=(小時)
上坡時間占全程時間的所以，全程時間
=(小時)
==(小時)
答：此人走完全程共用了小時。
[分析與討論]這是一道比例題。比例問題在代數和幾何中都很重要。在小學算術課本中也有不少比例問題，主要是搞清楚部分與整體的關系。在進一步學習過程中，同學們會不斷得到有關知識與技能。
小玲有兩種不同形狀的紙板。一種是正方形的，一種是長方形的(圖58)。正方形紙板的總數與長方形紙板的總數之比是1∶2。她用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒(圖59)。正好將紙板用完，在小玲所做的紙盒中、豎式紙盒的總數與橫式紙盒的總數之比是多少?
[解法1]設豎式盒總數：橫式盒總數=X∶1
長方形紙板數量=(4X+3)×(橫式盒的總數);正方形紙板數量=(X+2)×(橫式盒的總數)。所以4X+3=2×(X+2)
X=答：豎式紙盒的總數與橫式紙盒的總數之比是1∶2。
[解法2]如果把無蓋紙盒都加上了蓋子。那么，無論盒是豎式的還是橫式的，在加蓋以后都用了兩塊正方形紙板四塊長方形紙板。因此，加蓋以后所用的`正方形紙板總數長方形紙板總數之比是2∶4=1∶2。而在加蓋以前所用正方形紙板總數與長方形紙板總數之比恰好也是1∶2。由此可見，所加的蓋子中正方形的比是1∶2，因為豎式的蓋子是正方形的，而橫式盒的蓋子是長方形的。所以在小玲所做的紙盒中，豎式紙盒的總數與橫式紙盒的總數之比是1∶2。
[分析與討論]注意，“解法2”是對于比數是1∶2這個特定條件下的一種特殊解法，它不具普遍性。比如，如果正方形紙板的總數與長方形紙板的總數之比是1∶3，那么答案就是3∶1。
請同學們算一算，如果正方形紙板的總數與長方形紙板的總數之比是N∶M，那么答案是什么?請自己分析討論一下。
在工業生產中，常常遇到這樣一類問題，原材料的來源是按一定的配比給定了，要用這些材料生產各種類型的產品。這時有最佳安排問題。安排不好就會造成材料的浪費。學了小學的數學知識就可以解決一些這類問題中最簡單的問題。
在一根長木棍上，有三種刻度線、第一種刻度線將木棍分成十等份;第二種將木棍分成十二等份;第三仲將木棍分成十五等份。如果沿每條刻度先將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段?
[解法]求出(10，12，15)的最小公倍數，它是60。把這根木棍的10等分的每等分長6個單位。12等分的每等分長5單位;15等分的每等分長4單位。
不計木的兩個端點，木棍的內部等分點數分別是9，11，14(相應于10，12，15等分)，共計34個。
由于5，6的最小公倍數為30，所以10與12等分的內分點在30單位處處相重，必須從34中減。
又由于4，5的最小公倍數為20，所以12與15等分的內分點在20童位和40童位兩個相重，必須再減去2。
同樣，6，4的最小公倍數為12，所以15與10等分的內分點在12，24，26;48童位處相重，必須再減去4。
由于這些相重點，各不相同，所以從34個內分點中減去1，再減去2，再減去4，得27小刻度點，沿這些刻度點把木棍鋸成28段。
答：木棍總共被鋸成28段。
[分析與討論]本題還有許多解法。不少同學把木棍長看成1個單位，那么等分點將是一批分數，分析起來不如這里父段。
[分析與討論]本題還有許多解法。不少同學把木棍長看成1個單位，那么等分點將是一批分數，分析起來不如這里給出的解法清楚，因此計數多有錯。也有一些同學列出全部等分點，計算繁瑣，也未必能做對，所以巧算是很重要的。
已知：
a=問：a的整數部分是多少?
[解法]
a=====現在我們來看a的第二項的分母，一方面
11×65+12×66+13×67+14×68+15×69<11×69+12×69+13×
69+14×69+15×69
另一方面
11×65+12×66+13×67+14×68+15×69>11×65+12×65+13×65+14×65+15×65
由于一個正的分數，分母變小分數變大，分母變大分數變小。所以
<
即<同樣分析可得，
>也就是
<<100+<100+×
100<100+100+
答：a的整數部分是101。
[分析與討論]這是一道估值問題。估值問題不論在純數學上還是在應用數學上都很重要。
估值問題在小學生中很少受到訓練。但同學們在日常生活中，經常會遇到一些這類問題，他們也有一些解決的辦法。當然直接計算的方法是不可取的。在小學生中，適當增加一點這方面的訓練，是有好處的。
圖60算式中，所有分母都是四位數。請在每個方格中各填入一個數字，使等式成立。
圖60
[解法]本題中，三個分數的分母都是四位數、不能立刻看出結果，因此有必要將問題先簡化一下。
我們知道，如果將三個分數的分母同時擴大或縮小相同的倍數，等式照樣成立。這就啟發我們一種化簡的方法，使分母盡量變得簡單。
自然的想法是將1988這個數做質因數分解。通過試除知道1988的質因數分解為：
1988=2×2×7×71。
這樣，根據上面的分析，可以先用1988的約數來代替1998，試著找一組解，然后再將分母都乘以適當的倍數，檢查一個是否都是四位數就行了
例如：1988的質因數分解中有的數4，很容易看出：
由于1988=2×2×7×71=4×497，所以，將上面等式的兩邊均乘上，就得
，即
這樣就給出了一組適合條件的解。
再如，
1988=2×2×7×71
=(2×7)×(2×71)
=14×142
而且有
，兩邊同乘以，就得
即這就給出了另一組解。
[分析和討論]我們在解題中只給出了二組不同的解，而且在找解時多少帶有一點試探的意味。這是因為要限于小學教村的內容，而且也為了使同學們對如何簡化問題的技巧有一點體會。
這道題有多少組不同的解呢?是不是還有更一般的方法?下面就來討論。因為，要涉及到較深一點的知識，同學們如果現在看不懂，可以留到以后再看。
為敘述方便，個妨將問題重寫出來設X，Y為兩個四位數，并適合
(1)
問：X，Y各為多少?
解：從(1)式可以看出，<，也就是說Y<1988。令u=1988-y根據題意，y是四位數，即y>1000，由此可知：
和U代換(1)式中的Y，我們有
(3)
因此
(4)
亦即
XU=(1988-U)1988=19882-988U(5)
從(5)式可以得到
19882=XU+1988U=(X+1988)U(6)
也就是說，
(7)
其中，S為4位數，U是適合條件(2)的整數。
由于(7)式左方是整數，因此U必須是19882的因子。
更進一步，按題設X是四位數，亦即X≤9999。所以從(7)式可知
=X+1988≤11987 (8)
即
U≥>329.5 (9)
再結合(2)式，我們有
330
這樣，整個問題就化為求19882中適合條件(10)的因數有多少個?
容易看出：1988有質因素分解
1988=22×7×71(11)
因此，19882=24×72×712。其中有哪些因數適合條件(10)呢?經過檢查可知有如下4個因素：
71×7，71×23，72×23，72×24
用這4個數分別代入(7)式和Y=1988-U，就可以得到四組解如下：(1)X=5964，Y=1491;
(Ⅱ)X=4970，Y=1420;
(Ⅲ)X=8094，Y=1596;
(Ⅳ)X=3053，Y=1204。
最后，我們要給出解的一般公式，以供參考。
設X，Y，Z為三個自然數，適合
(12)
求X，Y，Z的一般形式
[解]由(12)式可知：
<，< (13)
因此，X>Z，Y>Z，由此不妨設
X=Z+U，Y=Z+V(14)
其中U>0，V>0.
將(14)式代入到(12)式中，我們有
= (15)
即(2Z+U+V)Z=(Z+U)(Z+V)=Z2+ZU+ZV+UV(16)
化簡后可得：
Z2=UV(17)
設U和V有最大公約數為T，則
U=U1·T，V=V1.T(18)
其中U1和V1互質。
將(16)式代入到(17)式中，可以得到
Z=Z1T(19)
而Z1，U1，V1適合方程
(20)
因為U1和V1互質，即只有公因數1，從(20)可知U1和V1均為平方數，也就說，一般解為
，， (21)
將(21)式代入到(14)式中，我們有一般解：
X=R(R+S)T
Y=S(R+S)T(22)
Z=R·S·T
其中R，S，T均為自然數。
有興趣的同學不妨用一般公式試試求本題的解。
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