高一數學練習題函數的單調性的概念
1.若函數f(x)在區間[m,n]上是增函數,在區間[n,k]上也是增函數,則函數f(x)在區間(m,k)上( )
A.必是減函數 B.是增函數或減函數
C.必是增函數 D.未必是增函數或減函數
答案：C
解析：任取x1、x2(m,k),且x1
若x1、x2(m,n],則f(x1)
若x1、x2[n,k),則f(x1)
若x1(m,n],x2(n,k),則x1n
f(x1)f(n)
f(x)在(m,k)上必為增函數.
2.函數f(x)=x2+4ax+2在(-,6)內遞減,那么實數a的取值范圍是( )
A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3
答案：D
解析：∵- =-2a6,a-3.
3.若一次函數y=kx+b(k0)在(-,+)上是單調增函數,那么點(k,b)在直角坐標平面的( )
A.上半平面 B.下半平面
C.左半平面 D.右半平面
答案：D
解析：易知k0,bR,(k,b)在右半平面.
4.下列函數中,在區間(0,2)上為增函數的是( )
A.y=-x+1 B.y=
C.y=x2-4x+5 D.y=
答案：B
解析：C中y=(x-2)2+1在(0,2)上為減函數.
5.函數y= 的單調遞增區間是___________,單調遞減區間是_____________.
答案：[-3,- ] [- ,2]
解析：由-x2-x-60,即x2+x-60,解得-32.
y= 的定義域是[-3,2].
又u=-x2-x+6的對稱軸是x=- ,
u在x[-3,- ]上遞增,在x[- ,2]上遞減.
又y= 在[0,+]上是增函數,y= 的.遞增區間是[-3,- ],遞減區間[- ,2].
6.函數f(x)在定義域[-1,1]上是增函數,且f(x-1)
答案：1
解析：依題意 1
7.定義在R上的函數f(x)滿足f(-x)= 0,又g(x)=f(x)+c(c為常數),在[a,b]上是單調遞增函數,判斷并證明g(x)在[-b,-a]上的單調性.
解：任取x1、x2[-b,-a]且-bx1
則g(x1)-g(x2)=f(x1)-f(x2)= .
∵g(x)=f(x)+c在[a,b]上是增函數,
f(x)在[a,b]上也是增函數.
又b-x2a,
f(-x1)f(-x2).
又f(-x1),f(-x2)皆大于0,g(x1)-g(x2)0,即g(x1)
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8.設函數f(x)在(-,+)上是減函數,則下列不等式正確的是( )
A.f(2a)
C.f(a2+a)
答案：D
解析：∵a2+1-a=(a- )2+ 0,
a2+1a.函數f(x)在(-,+)上是減函數.
f(a2+1)
9.若f(x)=x2+bx+c,對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t),那么( )
A.f(1)
C.f(2)
答案：C
解析：∵對稱軸x=- =2,b=-4.
f(1)=f(3)
10.已知函數f(x)=x3-x在(0,a]上遞減,在[a,+)上遞增,則a=____________
答案：
解析：設0
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-1),
當0f(x2).
同理,可證 x1
11.函數f(x)=|x2-2x-3|的增區間是_________________.
答案：(-1,1),(3,+)
解析：f(x)= 畫出圖象易知.
12.證明函數f(x)= -x在其定義域內是減函數.
證明:∵函數f(x)的定義域為(-,+),
設x1、x2為區間(-,+)上的任意兩個值且x1
f(x2)-f(x1)= - -(x2-x1)= -(x2-x1)
=(x2-x1) =(x2-x1) .
∵x2x1,x2-x10且 + 0.
又∵對任意xR,都有 =|x|x,有 x,即有x- 0.
x1- 0,x2- 0.
f(x2)-f(x1)0,即f(x2)
函數f(x)= -x在其定義域R內單調遞減.
13.設函數f(x)對于任意x、yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在(-,+)上單調遞減,若 f(x2)-f(x) f(bx)-f(b),求x的范圍.
解：∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x、yR),
2f(x)=f(x)+f(y)=f(2x).
同理,2f(b)=f(2b).
由 f(x2)-f(x) f(bx)-f(b),
得f(x2)+2f(b)f(bx)+2f(x),
即f(x2)+f(2b)f(bx)+f(2x).
即f(x2+2b)f(bx+2x).
又∵f(x)在(-,+)上單調遞減,
x2+2b
x2-(b+2)x+2b0.
x2-(b+2)x+2b=(x-2)(x-b)0.
當b2時,得2
當b2時,得b
當b=2時,得x .
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14.設函數f(x)是(-,+)上的減函數,則f(2x-x2)的單調增區間是( )
A.(-,2) B.[-2,+] C.(-,-1] D.[1,+)
答案：D
解析：令t=g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1知:當x1時,函數g(x)單調遞減;當x1時,函數g(x)單調遞增.又因函數f(t)在(-,+)上遞減,故f(2x-x2)的單調減區間為(-,1],增區間為[1,+).
15.老師給出一個函數y=f(x),四個學生甲、乙、丙、丁各指出這個函數的一個性質:
甲:對于xR,都有f(1+x)=f(1-x);
乙:在(-,0]上函數遞減;
丙:在(0,+)上函數遞增;
丁:f(0)不是函數的最小值.
如果其中恰有三人說得正確,請寫出一個這樣的函數:________________.
答案：f(x)=(x-1)2(不唯一)
解析：f(x)=(x-1)2(答案不唯一,滿足其中三個且另一個不滿足即可).
f(1+x)=f(1-x)表示對稱軸方程為x=1.
16.已知函數f(x)= ,x[1,+).
(1)當a= 時,求函數f(x)的最小值;
(2)若對任意x[1,+),f(x)0恒成立,求實數a的取值范圍.
解：(1)當a= 時,f(x)=x+ +2,設1x1
則f(x2)-f(x1)=x2+ -(x1+ )= .
因為1x10,2x1x2-10,2x1x20 f(x2)-f(x1)0,
即f(x)在[1,+]上單調遞增,f(x)min=f(1)=1+ +2= .
(2)x[1,+],f(x)0恒成立 x2+2x+a0恒成立,即a-x2-2x恒成立,又y=-x2-2x=
-(x+1)2+1-3,所以a-3.
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