函數概念與基本初等函數練習題

　　一、 函數的定義域、值域的綜合應用

　　已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)滿足條件f(－x＋5)＝f(x－3)，f(2)＝0，且方程f(x)＝x有兩個相等的實根，問是否存在實數m，n(m＜n)，使得f(x)的定義域為[m，n]時，值域為[3m,3n]，如果存在，求m，n的值；如果不存在，請說明理由．

　　分析：主要考查二次函數的定義域、值域及與方程的結合．

　　解析：∵f(－x＋5)＝f(x－3)，

　　f(x)的圖象的對稱軸為直線x＝5－32＝1，

　　即－b2a＝1， ①

　　又f(2)＝0，即4a＋2b＋c＝0， ②

　　又∵方程f(x)＝x有兩個相等實根，

　　即ax2＋(b－1)x＋c＝0有兩個相等的實根．

　　＝(b－1)2－4ac＝0， ③

　　由①②③可得：

　　a＝－12，b＝1，c＝0.

　　則f(x)＝－12x2＋x＝－12(x－1)2＋1212；

　　故3n12，即n16.

　　f(x)在[m，n]上單調遞增，

　　假設存在滿足條件的m，n，則：

　　fm＝－12m2＋m＝3m，fn＝－12n2＋n＝3n，

　　m＝0或m＝－4，n＝0或n＝－4.

　　又m＜n16，m＝－4，n＝0.

　　即存在m＝－4，n＝0，滿足條件．

　　點評：求二次函數的值域一般采用配方法，結合其圖象的對稱性．解決定義域和值域共存問題時，不要盲目進行分類討論，而應從條件出發，分析和探討出解決問題的途徑，確定函數的單調性，從而使問題得以解決．

　　變式訓練

　　1．若函數f(x)的定義域和值域都是[a，b]，則稱[a，b]為f(x)的保值區間，求函數f(x)＝12(x－1)2＋1的保值區間．

　　解析：①當a1時，f(x)遞減，fa＝b，fb＝a，即12a－12＋1＝b，12b－12＋1＝a，無解；②當a1，b1時，定義域里有1，而值域里沒有1，不可能；③當1b時，f(x)為增函數，故fa＝a，fb＝ba＝1，b＝3，故保值區間為[1,3]．

　　二、 函數單調性和奇偶性的綜合應用

　　奇函數f(x)是R上的減函數，對于任意實數x，恒有f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0成立，求k的取值范圍．

　　分析：已知條件中給出函數不等式，故要考慮利用奇函數性質和單調性化為不含函數符號的不等式來求解．

　　解析：由f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0得：

　　f(kx)＞－f(－x2＋x－2)．

　　∵f(x)為奇函數，

　　f(kx)＞f(x2－x＋2)．

　　又∵f(x)在R上是減函數，

　　kx＜x2－x＋2.

　　即x2－(k＋1)x＋2＞0恒成立．

　　＝(k＋1)2－42＜0，

　　解得－22－1＜k＜22－1.

　　點評：本題利用函數單調性與奇偶性將函數不等式f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0轉化為kx＜x2－x＋2，是解決此題的關鍵．

　　變式訓練

　　2．定義在R上的函數f(x)滿足f(0)0，且當x0時，f(x)1，對任意a，bR均有f(a＋b)＝f(a)f(b)．

　　(1)求證：f(0)＝1.

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