奧數計算試題答案解析:歸納法

　　1.用數學歸納法證明"當n為正偶數為xn-yn能被x+y整除"第一步應驗證n=__________時,命題成立;第二步歸納假設成立應寫成_____________________.

　　2. 數學歸納法證明3能被14整除的過程中,當n=k+1時,3應變形為____________________.

　　3. 數學歸納法證明 1+3+9+…+3

　　4.求證 n能被9整除.

　　答案：

　　1. x2k-y2k能被x+y整除

　　因為n為正偶數,故第一值n=2,第二步假設n取第k個正偶數成立,即n=2k,故應假設成x2k-y2k能被x+y整除.

　　2.25(34k+2+52k+1)+56·32k+2

　　當n=k+1時,34(k+1)+2+52(k+1)+1=81·34k+2+25·52k+1=25(34k2+52k+1)+56·33k+2

　　3.證明(1)當n=1時,左=1,右=(31-1)=1,命題成立.

　　(2)假設n=k時,命題成立,即:1+3+9+…3k-1=(3k-1),則當n=k+1時,1+3+9+…+3k-1+3k=(3k-1)+3k=(3k+1-1),即n=k+1命題成立.

　　4.證明(1)當n=1時,13+(1+1)3+(1+2)3=36能被9整除.

　　(2)假設n=k時成立即:k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,當k=n+1時

　　(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3= k3+(k+1)3+(k+2)3+9k2+9k+27= k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+k+3)能被9整除

　　由(1),(2)可知原命題成立.

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