試論數學教學的結構性原則論文

　　教學原則是以一定的教學目的和教學任務為出發點，根據教學規律制定的對教學工作的基本要求。數學教學除了堅持各科通用的、一般的教學原則外，還應堅持結構性原則。

　　一、數學結構性教學原則的涵義

　　(一）數學知識結構的涵義

　　法國抽象數學的主角布爾巴基（Bour-baki)指出：“數學不是研究數量的，而是研究結構的。”數學知識結構主要是指數學內容結構與數學方法結構，它不僅包括數學的基本概念和一般原理，而且還包括基本的數學方法、數學思想和數學觀念。其大致構成如下：f數學內容結W數學教材內容的編排結構數學知識結構'數學知識本身的邏輯結構II教材內容所里含的方法結構I數學方法結構U決問題所采用的方法結構

　　數學內容結構既指數學教材內容的編排結構即數學內容及其排列、組合方式，也指數學內容本身所固有的內在的邏輯結構。數學內容本身的邏輯結構，如立體幾何中空間的角與距離的概念都是通過轉化為平面的角與距離來加以定義的，這些概念同時都具有科學性、合理性、簡潔性、最優性和實用性。數學方法結構既指數學內容中所蘊含思想方法及其排列與組合的方式，也指解決某一數學問題所用的具體方法或步驟。如冪函數、指數函數和對數函數兩單元的教材所蘊含的思想方法都是：從實例抽象概括出一般數學模型，再用從特殊到一般、從具體到抽象、分類討論、數形結合的方法研究函數的性質，最后應用函數性質解決問題。

　　由上可知，數學知識結構的實質是數學知識本身所固有的內在的統一性與規律性。

　　(二）數學認知結構的涵義

　　數學認知結構就是學習者頭腦里的數學知識，按照自己理解的深度、廣度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維和聯想等認知特點組成的一個具有內部規律的整體結構。簡單地說，就是包括學習態度和學習方法在內的學習者頭腦中的數學知識結構。

　　數學知識結構是數學經驗的積累和總結，是客觀的、外在的，而數學認知結構是學習數學時，學習者頭腦中逐步形成的認知模式，是主觀的、內在的。數學知識結構是教材按序組織起來的，通過學習是可以掌握的；數學認知結構是通過學習這些知識內容，形成的智能活動模式，它是一個人數學素質的體現，有正誤與優劣之分。學習數學的過程就是把數學知識結構轉化為數學認知結構的過程，數學教學的主要任務就是不斷地形成、發展和完善學生的數學認知結構。

　　數學認知結構對于學習者的行為有內在的調節作用，這主要表現在：1.一切外來知識對學習者的影響，都必須通過學習者的認知結構才能發生作用；2.由于作用的主體及其認知結構的不同，外來知識影響的結果也不同。

　　良好的數學認知結構“應該是構成這樣一種含有種種力量一一簡約化知識的力量，產生新的診斷的力量，使知識體形成愈益嚴密的體系的力量--的知識系統”（布魯納語）。它具有以下特征：1.簡約性和單純性。即它舍棄了使人發生混亂的雜亂的枝蔓，突出基本結構。2.遷移性和發展性。即對學習新的數學知識、掌握新的數學方法和數學思想具有積極的影響和遷移作用，是新的知識的“固著點”和“生長點”；同時原有的數學認知結構又在學習新的知識.新的方法的過程中不斷地完善、豐富和發展。3.廣泛性和嚴密性。即它比具體的數學知識、數學方法具有更高的抽象性和概括性，不局限于某個知識、某種方法、某類問題；同時學習者頭腦中的數學知識和方法的內部組織和結構是嚴密而有序的。

　　(三）數學結構性教學原則的涵義

　　所謂數學結構性教學原則，簡單地說，就是從數學知識結構和學生的數學認知結構出發設計和組織教學，以完善和發展學生原有數學認知結構為目的。具體地說，即教師要從數學知識體系高度“結構化”的.特點和學生認知結構的形成、發展規律出發，站在整體、系統和結構的高度把握和處理教材，引導學生充分感受和把握數學的知識結構和方法結構，體驗數學知識的發生發展全程，同時努力提髙學生原有認知結構的可利用性、穩定性與清晰性，為新知識融入已有的認知結構創造條件，以最大限度地避免因教學的盲目性而走不必要的彎路，盡可能地擴大、健全學生頭腦中的數學知識的內容、觀念和組織，完善和發展學生的數學認知結構，提髙教學效益。在這里，學生的數學認知結構既是學習數學的重要前提和手段，又是學習數學的重要目標和結果。

　　二、數學結構性教學原則的依據

　　（一）有意義學習理論

　　奧蘇伯爾提出，有意義學習過程的實質就是符號所代表的新知識與學習者認知結構中已有的適當觀念建立非人為的（nonarbitrary)和實質性的（substan?tive)聯系。實質性聯系是指新的符號或符號所代表的觀念與學習者認知結構中已有的表象、已經有意義的符號、概念或命題的聯系；非人為的聯系是指新知識與認知結構中有關觀念在某種合理或邏輯基礎上的聯系。要促進新知識的學習，首先要增強學生認知結構中與新知識有關的觀念。

　　(二）培養學生良好的數學認知結構是數學教學的目標

　　布魯納認為：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構。這是在運用知識方面的最低要求，它有助于解決學生在課外所遇到的問題和事件，或者在日后訓練中所遇到的問題。”“經典的遷移問題的中心，與其說是單純地掌握事實和技巧，不如說是教授和學習結構。”[3]由于良好的認知結構具有簡約性和單純性、遷移性和發展性、廣泛性和嚴密性，因此從結構的觀點出發設計和實施教學，有利于完善和發展學生良好的數學認知結構，有利于提高數學教學效益尤其是可持續發展效益。

　　三、數學結構性教學原則的實施策略

　　(一）先行組織者策略

　　所謂“先行組織者”是指先于學習任務本身呈現的一種引導性材料，它比學習任務本身有更高的抽象、概括和綜合水平，并且能清晰地與認知結構中原有的觀念和新的學習任務關聯。設計“先行組織者”的目的是為新的學習任務提供觀念上的固定點，增加新舊知識之間的可辨別性，以促進類屬性的學習。事實上，數學教材一般總是包括這個先行組織者的，如一開始的綜述，或章節的大綱和標題。它起了如下作用：（1)點明了將要呈現的知識、方法和觀念之間的聯系；（2)提醒學生已有知識和即將學習的新材料之間的關系。

　　(二）站在整體與結構的高度把握和處理教材

　　由于數學教材是髙度結構化的，因此無論是教還是學，站在數學學科結構和單元題材結構的高度，用結構的觀點把握教材，用結構化的方法處理教材是非常重要的。我們應該讓學生在“見樹木，更見森林；見森林，才見樹木”的情境中學習數學，引導學生充分感受和把握數學的知識結構和方法結構，體驗數學知識的發生發展全程。

　　(三）提高學生原有認知結構的清晰性、穩定性、可辨別性

　　在學生面對新的學習任務時，教師要引導學生尋找他原有認知結構中能夠吸收、固定新觀念的上位觀念，并努力使這個觀念具有清晰性、穩定性、可辨別性。因為這個起固定作用的上位觀念的清晰性、穩定性、可辨別性越強，學生學習新觀念就越容易，也越易于保存。

　　(四）要及時歸納總結 增強學生認知結構的整體性和結構性

　　認知心理學認為，認知結構具有整體性和概括性；并且整體性和概括性越強，就越有利于學習的保持和遷移。但實踐表明，不少學生掌握的數學知識是零亂的、分散的、彼此孤立的。因此教師應及時組織、引導學生對前面所學的知識、規律、數學思想方法進行歸納、整理，尋找其內在統一性和規律性，促進學生認知結構整體性、概括性和結構性水平的提高。與此同時，教師應大力培養學生自己將所學知識系統化、結構化的能力。

　　(五）從結構入手，分析問題、解決問題

　　數學結構具有豐富性和層次性。數學問題的結構決定解決問題的數學思想與數學方法，結構蘊含著方法，結構提示著方法：結構的豐富性決定方法的多樣性；結構的特殊性決定方法的特殊性。因此在問題解決教學中，我們可用結構分析法來探索解決問題的途徑和方法，從而為數學問題的解決、學生解決問題能力的培養開辟新的道路，提供新的武器。

　　四、數學結構性教學原則的意義

　　第一，它為數學教學提供了以建構數學認知結構為中心的整體認識觀，促進學生從整體上把握數學知識、方法和觀念，進而有效地克服肢解數學知識和方法的現象。

　　第二，它提醒我們，發現式學習和開放性教學應該有一個“度”，不能走極端。中外教育的歷史已經證明：學生的學習不可能是不著邊際的發現學習，“無結構教學”、極端的‘‘開放性教學、開放課堂、自由學習法”并沒有提高教學質量，反而導致了教學質量的下降。

　　第三，它有助于學生克服只注意知識增長、把解題步驟和程序作為學習重點的傾向，增強學生學習數學的整體意識和結構意識。

　　第四，它使學生把業已掌握的知識提高到簡潔的原理性結構上的可能性增大，也使學生以已有知識為基礎，向未知的新事物遷移、洞察的傾向增大，因此有助于提髙數學教學的效率和效益。

　　五、數學結構性教學原則應用舉例

　　例1，在學習“0°?360°間的角的三角函數”時，從概念的來源、科學性、合理性、必要性角度等結構性特征出發，教師可自然地引導學生提出：（1)為什么會想到要定義0°?360°間的角的三角函數？（2)我們該如何定義0°?360°間的角的三角函數？應該怎樣去尋找解決辦法？（3)初中時銳角三角函數是借助直角三角形定義的，這兩者之間有無必然的聯系？（4)既然銳角三角函數值的大小由這個角的大小本身確定，與這個銳角所在的三角形是不是直角三角形或者這個銳角是不是三角形的內角無關，那么我們能否用其他方法來定義銳角三角函數？（5)如果能，那么我們該如何從原有的定義中得到啟發，尋找新的定義方法？（6)新的定義科學嗎？合理嗎？它有什么優點？（7)如何運用新的定義去解決問題？

　　例2,在學習和研究球體積公式時，從定理形成、證明的結構性特征出發，（1)我們很自然地形成這樣的教與學的思路：在證明一個定理之前，先猜想這個定理；在搞清楚證明細節之前，先猜想證明的主導思想。（2)我們需要從與此相類似的圓周長、圓面積、球面面積等問題的解決中尋找啟發。（3)我們可以通過細沙、水等實驗來驗證或探索球體積公式。（4)我們可從祖暱原理的結構出發，構造相應的幾何體證明猜想。

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