三角函數的教學設計范文（精選11篇）

　　作為一名為他人授業解惑的教育工作者，時常需要準備好教學設計，借助教學設計可以更大幅度地提高學生各方面的能力，從而使學生獲得良好的發展。我們該怎么去寫教學設計呢？以下是小編收集整理的三角函數的教學設計范文，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　三角函數的教學設計 1

　　(一)概念及其解析

　　這一欄目的要點是：闡述概念的內涵；在揭示內涵的基礎上說明本課內容的核心所在；必要時要對概念在中學數學中的地位進行分析；明確概念所反映的數學思想方法。在此基礎上確定教學重點。

　　概念

　　描述周期現象的數學模型，最基本而重要的背景：勻速圓周運動。

　　定義域：(弧度制下)任意角的集合；對應法則：任意角α的終邊與單位圓的交點坐標為(x，y)，正弦函數為y=sinα，余弦函數為x=cosα；值域：[-1，1]。

　　概念解析

　　核心：對應法則。

　　思想方法：函數思想--一般函數概念的指導作用；形與數結合--象限角概念基礎上；模型思想--單位圓上的點隨角的變化而變化的規律的數學刻畫。

　　重點：理解任意角三角函數的對應法則--需要一定時間。

　　(二)目標和目標解析

　　一堂課的教學目標是教學目的的具體化，是教學活動每一階段所要實現的教學結果，是衡量教學質量的標準。當前，許多教師沒有意識到制定教學目標的重要性，他們往往只從“課標”或“教參”上抄錄，而且表述目標時，“八股”現象嚴重。我們主張，課堂教學目標不以“三維目標”(知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀)或“四維目標”(知識技能、數學思考、解決問題、情感態度)分列，而以內容及由內容反映的思想方法為載體，將數學能力、情感態度等隱性目標融于其中，并用了解、理解、掌握等及相應的行為動詞經歷、體驗、探究等表述目標，特別要闡明經過教學，學生將有哪些變化，會做哪些以前不會做的事。

　　為了更加清晰地把握教學目標，以給課堂中教和學的行為做出準確定向，需要對教學目標中的關鍵詞進行解析，即要解析了解、理解、掌握、經歷、體驗、探究等的具體含義，其中特別要明確當前內容所反映的數學思想方法的教學目標。

　　教學目標：

　　理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義。

　　目標解析：

　　(1)知道三角函數研究的'問題；

　　(2)經歷“單位圓法”定義三角函數的過程；

　　(3)知道三角函數的對應法則、自變量(定義域)、函數值(值域)；

　　(4)體會定義三角函數過程中的數形結合、數學模型、化歸等思想方法。

　　(三)教學問題診斷分析

　　這一欄目的要點是：教師根據自己以往的教學經驗，對學生認知狀況的分析，以及數學知識內在的邏輯關系，在思維發展理論的指導下，對本內容在教與學中可能遇到的困難進行預測，并對出現困難的原因進行分析。在上述分析的基礎上指出教學難點。

　　教學問題診斷和教學難點：

　　認知基礎

　　(1)函數的知識--“理解三角函數定義”到底要理解什么?--三要素；

　　(2)銳角三角函數的定義--背景(直角三角形)、對應關系(角度 比值)、解決的問題(解三角形)--側重幾何特性；

　　(3)任意角、弧度制、單位圓--在直角坐標系下討論問題的經驗，借助單位圓使問題簡化的經驗。

　　認知分析

　　(1)三角函數是一類特殊函數，“三角函數”是“函數”的下位概念，用“概念同化”方式學習，要理解“三要素”的具體內涵，其中核心是“對應法則”；

　　(2)從銳角三角函數到任意角三角函數，一種“形式推廣”，載體要從直角三角形過渡到直角坐標系，其核心是要明確用坐標定義三角函數的思想方法；

　　(3)體會將“任意點”化歸到“單位圓上的點”的意義--求簡的思想。

　　教學難點

　　(1)先要在弧度制下(用單位圓的半徑度量角)實現角的集合與實數集的一一對應，再實現數到坐標的對應，不是直接的對應，會造成理解困難；

　　(2)銳角三角函數的“比值”過渡到坐標表示的比值，需要從函數角度重新認識問題；

　　(3)求簡到“單位圓上點的坐標”，思想方法深刻，學生不易理解。

　　(四)教學過程設計

　　在設計教學過程時，如下問題需要予以關注：

　　強調教學過程的內在邏輯線索；

　　要給出學生思考和操作的具體描述；

　　要突出核心概念的思維建構和技能操作過程，突出思想方法的領悟過程分析；

　　以“問題串”方式呈現為主，應當認真思考每一問題的設計意圖、師生活動預設，以及需要概括的概念要點、思想方法，需要進行的技能訓練，需要培養的能力，等。

　　另外，要根據內容特點設計教學過程，如基于問題解決的設計，講授式教學設計，自主探究式教學設計，合作交流式教學設計，等。

　　1.復習提問

　　請回答下列問題：

　　(1)前面學習了任意角，你能說說任意角概念與平面幾何中的角的概念有什么不同嗎?

　　(2)引進象限角概念有什么好處?

　　(3)在度量角的大小時，弧度制與角度制有什么區別?

　　(4)我們是怎樣簡化弧度制的度量單位的?

　　(設計意圖：從為學習三角函數概念服務的角度復習；關注的是思想方法。)

　　2.先行組織者

　　我們知道，函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型。例如指數函數描述了“指數爆炸”，對數函數描述了“對數增長”等。圓周運動是一種重要的運動，其中最基本的是一個質點繞點O 做勻速圓周運動，其變化規律該用什么函數模型描述呢?“任意角的三角函數”就是一個刻畫這種“周而復始”的變化規律的函數模型。

　　(設計意圖：解決“學習的必要性”問題，明確要研究的問題。)

　　3.概念教學過程

　　問題1 對于三角函數我們并不陌生，初中學過銳角三角函數，你能說說它的自變量和對應關系各是什么嗎?任意畫一個銳角 α，你能借助三角板，根據銳角三角函數的定義找出sinα的值嗎?

　　(設計意圖：從函數角度重新認識銳角三角函數定義，突出“與點的位置無關”。)

　　問題2 你能借助象限角的概念，用直角坐標系中點的坐標表示銳角三角函數嗎?

　　(設計意圖：比值“坐標化”。)

　　問題3 上述表達式比較復雜，你能設法將它化簡嗎?

　　(設計意圖：為“單位圓法”作鋪墊。學生答出“取點P(x，y)使x2+y2=1”后追問“為什么可以這樣做?)”

　　教師講授：類比上述做法，設任意角α的終邊與單位圓交點為P(x，y)，定義正弦函數為y=sinα，余弦函數為x=cosα。

　　(設計意圖：“定義”是一種“規定”；把精力放在定義合理性的理解上。)

　　問題4 你能說明上述定義符合函數定義的要求嗎?

　　(設計意圖：讓學生用函數的三要素說明定義的合理性，以此進一步明確三角函數的對應法則、定義域和值域。)

　　例1 分別求自變量π/2，π，- π/3所對應的正弦函數值和余弦函數值。

　　(設計意圖：讓學生熟悉定義，從中概括出用定義解題的步驟。)

　　例2 角α的終邊過P(1/2， - /2)，求它的三角函數值。

　　4.概念的“精致”

　　通過概念的“精致”，引導學生認識概念的細節，并將新概念納入到概念系統中去，使學生全面理解三角函數概念。這里包括如下內容：

　　三角函數值的符號問題；

　　終邊與坐標軸重合時的三角函數值；

　　終邊相同的角的同名三角函數值；

　　與銳角三角函數的比較：因襲與擴張；

　　從“形”的角度看三角函數--三角函數線，聯系的觀點；

　　終邊上任意一點的坐標表示的三角函數；

　　還可以引導學生思考三角函數的“多元聯系表示”，例如，把實數軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A(1，0)，數軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數軸上的任意一個實數(點)t 被纏繞到單位圓上的點 P(cost，sint).

　　5.課堂小結

　　(1)問題的提出--自然、水到渠成，思想高度--函數模型；

　　(2)研究的思想方法--與銳角三角函數的因襲與擴張的關系，化歸為最簡單也是最本質的模型，數形結合；

　　(3)歸納概括概念的內涵，明確自變量、對應法則、因變量；

　　(4)用概念作判斷的步驟、注意事項等。

　　(五)目標檢測設計

　　一般采用習題、練習的方式進行檢測。要明確每一個(組)習題或練習的設計目的，加強檢測的針對性、有效性。練習應當由簡單到復雜、由單一到綜合，循序漸進地進行。當前，要特別注意摒除“一步到位”的做法。過早給綜合題、難題有害無益，基礎不夠的題目更是貽害無窮。題目出不好、練習安排不合理是老師專業素養低的表現之一。

　　三角函數的教學設計 2

　　知識目標：

　　1.理解銳角的正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數的意義

　　2.會由直角三角形的邊長求銳角的正、余弦，正、余切函數值

　　能力、情感目標：

　　1.經歷由情境引出問題，探索掌握數學知識，再運用于實踐過程，培養學生學數學、用數學的意識與能力。

　　2.體會數形結合的數學思想方法。

　　3.培養學生自主探索的精神，提高合作交流能力。

　　重點、難點：

　　1.直角三角形銳角三角函數的意義。

　　2.由直角三角形的邊長求銳角三角函數值。

　　教學過程：

　　一、創設情境

　　前面我們利用相似和勾股定理解決一些實際問題中求一些線段的長度問題。但有些問題單靠相似與勾股定理是無法解決的。同學們放過風箏嗎？你能測出風箏離地面的高度嗎？

　　學生討論、回答各種方法。教師加以評論。

　　總結：前面我們學習了勾股定理，對于以上的問題中，我們求的是BC的長，而的AB的長是可知的，只要知道AC的長就可要求BC了，但實際上要測量AC是很難的。因此，我們換個角度，如果可測量出風箏的線與地面的夾角，能不能解決這個問題呢？學了今天這節課的內容，我們就可以很好地解決這個問題了。

　　（由一個學生比較熟悉的事例入手，引起學生的學習興趣，調動起學生的學習熱情。由此導入新課）

　　二、新課講述：

　　在Rt△ABC中與Rt△A1B1C1中∠C=90°, C1=90°∠A=∠A1，∠A的對邊、斜邊分別是BC、AB，∠A1的對邊、斜邊分別是B1C1、A1B2 （學生探索，引導學生積極思考，利用相似發現比值相等）

　　若在Rt△A2B2C2中，∠A2=∠A，那么

　　問題1：從以上的探索問題的過程，你發現了什么？（學生討論）

　　結論：這說明在直角三角形中，只要一個銳角的.大小不變，那么無論這個直角三角形的大小如何，該銳角的對邊與斜邊的比值是一個固定值。

　　在一個直角三角形中，只要角的大小一定，它的對邊與斜邊的比值也就確定了，與這個角所在的三角形的大小無關，我們把這個比值叫做這個角的正弦，即∠A的正弦= ，記作sin A，也就是：sin A=

　　幾個注意點：

　　①sin A是整體符號，不能所把看成sinA；

　　②在一個直角三角形中，∠A正弦值是固定的，與∠A的兩邊長短無關，當∠A發生變化時，正弦值也發生變化；

　　③sin A表示用一個大寫字母表示的一個角的正弦，對于用三個大寫字母表示的角的正弦時，不能省略角的符號“∠”；例如表示“∠ABC”的正弦時，應該寫成“sin∠ABC”；

　　④ Sin A= 可看成一個等式。已知兩個量可求第三個量，因此有以下變形：a=csinA,c=

　　由此我們又可以知道，在直角三角形中，當一個銳角的大小保持不變時，這個銳角的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊、鄰邊與對邊的比值也是固定的。分別叫做余弦、正切、余切。

　　在Rt△ABC中

　　∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作

　　∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作

　　∠A的鄰邊與對邊的比值是∠A的余切，記作

　　（以上可以由學生自行看書，教師簡單講述）

　　銳角三角函數：以上隨著銳角A的角度變化，這些比值也隨著發生變化。我們把sinA、csA、tanA、ctA統稱為銳角∠A的三角函數

　　問題2：觀察以上函數的比值，你能從中發現什么結論？

　　結論：

　　①、銳角三角函數值都是正實數；

　　②、0＜sinA＜1，0＜csA＜1；

　　③、tanActA=1。

　　三、實踐應用

　　例1 求出如圖所示的Rt△ABC中∠A的四個三角函數值

　　解

　　問題3：以上例子中，若求sin B、tan B 呢？

　　問題4：已知：在直角三角形ABC中，∠C=90，sin A=4/5，BC=12，求：AB和cs A

　　（問題3、4從實例加深學生對銳角三角函數的理解，以此再加以突破難點）

　　四、交流反思

　　通過這節課的學習，我們理解了在直角三角形中，當銳角一定時，它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊、鄰邊與對邊的比值是固定的，這幾個比值稱為銳角三角函數，它反映的是兩條線段的比值；它提示了三角形中的邊角關系。

　　五、課外作業：

　　同步練習

　　三角函數的教學設計 3

　　一、銳角三角函數

　　正弦和余弦

　　第一課時：正弦和余弦（1）

　　教學目的

　　1、使學生了解本章所要解決的新問題是：已知直角三角形的一條邊和另一個元素（一邊或一銳角），求這個直角三角形的其他元素。

　　2、使學生了解“在直角三角形中，當銳角A取固定值時，它的對邊與斜邊的比值也是一個固定值。

　　重點、難點、關鍵

　　1、重點：正弦的概念。

　　2、難點：正弦的概念。

　　3、關鍵：相似三角形對應邊成比例的性質。

　　教學過程

　　一、復習提問

　　1、什么叫直角三角形？

　　2、如果直角三角形ABC中∠C為直角，它的直角邊是什么？斜邊是什么？這個直角三角形可用什么記號來表示？

　　二、新授

　　1、讓學生閱讀教科書第一頁上的插圖和引例，然后回答問題：

　　（1）這個有關測量的實際問題有什么特點？（有一個重要的測量點不可能到達）

　　（2）把這個實際問題轉化為數學模型后，其圖形是什么圖形？（直角三角形）

　　（3）顯然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根據已知條件，在地面上或紙上畫出另一個與它全等的直角三角形，并在這個全等圖形上進行測量？（不一定能，因為斜邊即水管的長度是一個較大的數值，這樣做就需要較大面積的平地或紙張，再說畫圖也不方便。）

　　（4）這個實際問題可歸結為怎樣的數學問題？（在Rt△ABC中，已知銳角A和斜邊求∠A的對邊BC。）

　　但由于∠A不一定是特殊角，難以運用學過的定理來證明BC的長度，因此考慮能否通過式子變形和計算來求得BC的值。

　　2、在RT△ABC中，∠C＝900，∠A＝300，不管三角尺大小如何，∠A的對邊與斜邊的比值都等于1／2，根據這個比值，已知斜邊AB的長，就能算出∠A的對邊BC的長。

　　類似地，在所有等腰的那塊三角尺中，由勾股定理可得∠A的對邊／斜邊＝BC／AB＝BC／＝1／＝／2 這就是說，當∠A＝450時，∠A的對邊與斜邊的比值等于／2，根據這個比值，已知斜邊AB的長，就能算出∠A的對邊BC的長。

　　那么，當銳角A取其他固定值時，∠A的對邊與斜邊的比值能否也是一個固定值呢？

　　（引導學生回答;在這些直角三角形中，∠A的對邊與斜邊的.比值仍是一個固定值。）

　　三、鞏固練習：

　　在△ABC中，∠C為直角。

　　1、如果∠A＝600，那么∠B的對邊與斜邊的比值是多少？

　　2、如果∠A＝600，那么∠A的對邊與斜邊的比值是多少？

　　3、如果∠A＝300，那么∠B的對邊與斜邊的比值是多少？

　　4、如果∠A＝450，那么∠B的對邊與斜邊的比值是多少？

　　四、小結

　　五、作業

　　1、復習教科書第1－3頁的全部內容。

　　2、選用課時作業設計。

　　三角函數的教學設計 4

　　一、案例實施背景

　　本節課是九年級解直角三角形講完后的一節復習課

　　二、本章的課標要求：

　　1、通過實例銳角三角函數(sinA、cosA、tanA)

　　2、知道特殊角的三角函數值

　　3、會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，已知三角函數值求它對應的銳角

　　4、能運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題

　　此外，理解直角三角形中邊、角之間的關系會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形，進一步感受數形結合的數學思想方法，通過對實際問題的思考、探索，提高解決實際問題的能力和應用數學的意識。

　　三、課時安排：

　　1課時

　　四、學情分析：

　　本節是在學完本章的前提之下進行的總復習，因此本節選取三個知識回顧和四個例題，使學生將有關銳角三角函數基礎知識條理化，系統化，進一步培養學生總結歸納的能力和運用知識的能力

　　因此，本節的重點是通過復習，使學生進一步體會知識之間的相互聯系，能夠很好地運用知識。進一步體會三角函數在解決實際問題中的作用，從而發展數學的應用意識和解決問題的能力

　　五、教學目標:

　　知識與技能目標

　　1、通過復習使學生將有關銳角三角函數基礎知識條理化，系統化

　　2、通過復習培養學生總結歸納的能力和運用知識的能力

　　過程與方法：

　　1、通過本節課的復習，使學生進一步體會知識之間的相互聯系，能夠很好地運用知識

　　2、通過復習銳角三角函數，進一步體會它在解決實際問題中的作用

　　情感、態度、價值觀

　　充分發揮學生的積極性，讓學生從實際運用中得到鍛煉和發展

　　六、重點難點:

　　1.重點：銳角三角函數的定義;直角三角形中五個元素之間的相互聯系

　　2.難點：知識的深化與運用

　　七、教學過程:

　　知識回顧一：

　　(1) 在Rt△ABC中,C=90, AB=6，AC=3，則BC=_________,sinA=_________,cosA=______,tanA=______, A=_______, B=________.

　　知識回顧二：

　　(2) 比較大小： sin50______sin70

　　cos50______cos70

　　tan50______tan70

　　知識回顧三：

　　(3)若A為銳角,且cos(A+15)= ,則A=________。

　　本環節的'設計意圖：通過三個小題目回顧：

　　1、銳角三角函數的定義：

　　在Rt△ABC中,C=90

　　銳角A的正弦、余弦、和正切統稱A的銳角三角函數。

　　2、直角三角形的邊角關系：

　　(1)三邊之間的關系：

　　(2)銳角之間的關系：B=90

　　(3)邊角之間的關系：

　　sinA= cosA= tanA= sinB= cosB= tanB=

　　3、解直角三角形：

　　由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。

　　4、特殊角的三角函數值

　　三角函數

　　銳角A

　　sin A

　　cos A

　　tan A

　　30

　　45

　　60

　　5、銳角三角函數值的變化：

　　(1)當A為銳角時,各三角函數值均為正數, 且

　　(2)當A為銳角時，sinA、tanA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小

　　例題解析

　　【例1】在⊿ABC中，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，BC=14，AD=12，sinB=0.8，求DC及tanCDE。

　　解題反思：通過本題讓學生明白：

　　1、必須在直角三角形中求銳角的三角函數;

　　2、等角代換間接求解

　　【例2】要在寬為28m的海堤公路的路邊安裝路燈，路燈的燈臂AD長3m，且與燈柱CD成120角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線AB與燈臂垂直，當燈罩的軸線通過公路路面的中線時，照明效果最理想，問：應設計多高的燈柱，才能取得最理想的照明效果?

　　解題反思：通過本題讓學生知道解決這類問題時常分為以下幾個步驟：

　　①理清題目所給信息條件和需要解決的問題;

　　②通過畫圖進行分析，將實際問題轉化為數學問題;

　　③根據直角三角形的邊角關系尋找解決問題的方法;

　　④正確進行計算，寫出答案。

　　【例3】一艘輪船以每小時30海里的速度向東北方向航行，當輪船在A處時，從輪船上觀察燈塔S，燈塔S在輪船的北偏東75方向，航行12分鐘后，輪船到達B處，在B處觀察燈塔S，S恰好在輪船的正東方向，已知距離燈塔S8海里以外的海區為航行安全區域，問：如果這艘輪船繼續沿東北方向航行，它是否安全?

　　解題反思：解決這類問題時常用的模型：

　　小結：

　　P93 例3

　　P94 檢測評估

　　教學反思：

　　銳角三角函數在解決現實問題中有著重要的作用，但是銳角三角函數首先是放在直角三角形中研究的，顯示的是邊角之間的關系。銳角三角函數值是邊與邊之間的比值，銳角三角函數溝通了邊與角之間的聯系，它是解直角三角形最有力的工具之一。

　　在今后教學過程中，自己還要多注意以下兩點：

　　(1)還要多下點工夫在如何調動課堂氣氛，使語言和教態更加生動上。初中學生的注意力還是比較容易分散的，興趣也比較容易轉移，因此，越是生動形象的語言，越是寬松活潑的氣氛，越容易被他們接受。如何找到適合自己適合學生的教學風格?或嚴謹有序，或生動活潑，或詼諧幽默，或詩情畫意，或春風細雨潤物細無聲，或激情飛揚，每一種都是教學魅力和人格魅力的展現。我將不斷摸索，不斷實踐。

　　(2)我將盡我可能站在學生的角度上思考問題，設計好教學的每一個細節，上課前多揣摩。讓學生更多地參與到課堂的教學過程中，讓學生體驗思考的過程，體驗成功的喜悅和失敗的挫折，舍得把課堂讓給學生，讓學生做課堂這個小小舞臺的主角。而我將盡我最大可能在課堂上投入更多的情感因素，豐富課堂語言，使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結得失，不斷進步。只有這樣，才能真正提高課堂教學效率。

　　三角函數的教學設計 5

　　教學目的：

　　⒈掌握同角三角函數的基本關系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；

　　2 通過運用公式的訓練過程，培養學生解決三角函數求值、化簡、恒等式證明的解題技能，提高運用公式的靈活性；

　　3 注意運用數形結合的思想解決有關求值問題；在解決三角函數化簡問題過程中，注意培養學生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學過程中，注意培養學生分析問題的能力，從而提高邏輯推理能力。

　　教學重點：

　　同角三角函數的基本關系

　　教學難點：

　　(1)已知某角的一個三角函數值，求它的其余各三角函數值時正負號的選擇；

　　(2)三角函數式的化簡；

　　(3)證明三角恒等式。

　　授課類型：

　　新授課

　　知識回顧：

　　同角三角函數的基本關系公式:

　　典型例題：

　　例1．已知sin =2，求α的其余三個三角函數值

　　例2．已知： 且 ，試用定義求 的'其余三個三角函數值

　　例3．已知角 的終邊在直線=3x上，求sin 和cs 的值

　　說明：已知某角的一個三角函數值，求該角的其他三角函數值時要注意：

　　(1)角所在的象限；

　　(2)用平方關系求值時，所求三角函數的符號由角所在的象限決定；

　　(3)若題設中已知角的某個三角函數值是用字母給出的，則求其他函數值時，要對該字母分類討論

　　小結：

　　幾種技巧

　　課后作業：

　　板書設計（略）

　　三角函數的教學設計 6

　　教學目標：

　　掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式進行簡單的求值、化簡、恒等證明;引導學生發現數學規律，讓學生體會化歸這一基本數學思想在發現中所起的作用，培養學生的創新意識

　　教學重點：

　　二倍角公式的推導及簡單應用

　　教學難點：

　　理解倍角公式，用單角的三角函數表示二倍角的三角函數

　　教學過程：

　　Ⅰ.課題導入

　　前一段時間，我們共同探討了和角公式、差角公式，今天，我們繼續探討一下二倍角公式。我們知道，和角公式與差角公式是可以互相化歸的.當兩角相等時，兩角之和便為此角的二倍，那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢?請同學們試推。

　　先回憶和角公式

　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

　　當α=β時，sin(α+β)=sin2α=2sinαcosα

　　即：sin2α=2sinαcosα(S2α)

　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

　　當α=β時cos(α+β)=cos2α=cos2α-sin2α

　　即：cos2α=cos2α-sin2α(C2α)

　　tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ

　　當α=β時，tan2α=2tanα1-tan2α

　　Ⅱ.講授新課

　　同學們推證所得結果是否與此結果相同呢?其中由于sin2α+cos2α=1，公式C2α還可以變形為：cos2α=2cos2α-1或：cos2α=1-2sin2α

　　同學們是否也考慮到了呢?

　　另外運用這些公式要注意如下幾點：

　　(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角;但公式T2α只有當α≠π2 +kπ及α≠π4 +kπ2 (k∈Z)時才成立，否則不成立(因為當α=π2 +kπ，k∈Z時，tanα的值不存在;當α=π4 +kπ2 ，k∈Z時tan2α的.值不存在)。

　　當α=π2 +kπ(k∈Z)時,雖然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，這時求tan2α的值可利用誘導公式：

　　即：tan2α=tan2(π2 +kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0

　　(2)在一般情況下，sin2α≠2sinα

　　例如：sinπ3 =32≠2sinπ6 =1;只有在一些特殊的情況下，才有可能成立[當且僅當α=kπ(k∈Z)時，sin2α=2sinα=0成立]。

　　同樣在一般情況下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα

　　(3)倍角公式不僅可運用于將2α作為α的2倍的情況，還可以運用于諸如將4α作為2α的2倍，將α作為 α2 的2倍，將 α2 作為 α4 的2倍，將3α作為 3α2 的2倍等等。

　　三角函數的教學設計 7

　　一、教學內容：三角函數

　　【結構】

　　二、要求

　　（一）理解任意角的概念、弧度的意義、正確進行弧度與角度的換算；掌握任意角三角函數的定義、會利用單位圓中的三角函數線表示正弦、余弦、正切。

　　（二）掌握三角函數公式的運用（即同角三角函數基本關系、誘導公式、和差及倍角公式）

　　（三）能正確運用三角公式進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明。

　　（四）會用單位圓中的三角函數線畫出正弦函數、正切函數的圖線、并在此基礎上由誘導公式畫出余弦函數的圖象、會用“五點法”畫出正弦函數、余弦函數及Y=Asin（ωx φ）的簡圖、理解A、ω、 < 1271864542"> 的意義。

　　三、熱點分析

　　1. 近幾年高考對三角變換的考查要求有所降低，而對本章的內容的考查有逐步加強的趨勢，主要表現在對三角函數的圖象與性質的考查上有所加強.

　　2. 對本章內容一般以選擇、填空題形式進行考查，且難度不大，從xxxx年至xxxx年考查的內容看，大致可分為四類問題

　　（1）與三角函數單調性有關的問題；

　　（2）與三角函數圖象有關的問題；

　　（3）應用同角變換和誘導公式，求三角函數值及化簡和等式證明的問題；

　　（4）與周期有關的問題

　　3. 基本的解題規律為：觀察差異（或角，或函數，或運算），尋找聯系（借助于熟知的公式、或技巧），分析綜合（由因導果或執果索因），實現轉化。解題規律：在三角函數求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解；在最值問題和周期問題中，解題思路是合理運用基本公式將表達式轉化為由一個三角函數表達的形式求解。

　　4. 立足課本、抓好基礎。從前面敘述可知，我們已經看到近幾年高考已逐步拋棄了對復雜三角變換和特殊技巧的考查，而重點轉移到對三角函數的圖象與性質的考查，對基礎知識和基本技能的考查上來，所以在中首先要打好基礎。在考查利用三角公式進行恒等變形的同時，也直接考查了三角函數的性質及圖象的變換，可見高考在降低對三角函數恒等變形的要求下，加強了對三角函數性質和圖象的考查力度。

　　四、復習建議

　　本章內容由于公式多，且習題變換靈活等特點，建議同學們復習本章時應注意以下幾點：

　　（1）首先對現有公式自己推導一遍，通過公式推導了解它們的內在聯系從而培養邏輯推理。

　　（2）對公式要抓住其特點進行。有的公式運用一些順口溜進行。

　　（3）三角函數是階段研究的一類初等函數。故對三角函數的性質研究應結合一般函數研究方法進行對比。如定義域、值域、奇偶性、周期性、圖象變換等。通過與函數這一章的對比，加深對函數性質的理解。但又要注意其個性特點，如周期性，通過對三角函數周期性的復習，類比到一般函數的周期性，再結合函數特點的研究類比到抽象函數，形成解決問題的能力。

　　（4）由于三角函數是我們研究的一門基礎工具，近幾年高考往往考查知識網絡交匯處的知識，故學習本章時應注意本章知識與其它章節知識的聯系。如平面向量、參數方程、換元法、解三角形等。（20xx年高考應用題源于此）

　　（5）重視數學思想方法的復習，如前所述本章都以選擇、填空題形式出現，因此復習中要重視選擇、填空題的一些特殊解題方法，如數形結合法、代入檢驗法、特殊值法，待定系數法、排除法等。另外對有些具體問題還需要掌握和運用一些基本結論。如：關于對稱問題，要利用y＝sinx的對稱軸為x＝kπ＋ （k∈Z），對稱中心為（kπ，0），（k∈Z）等基本結論解決問題，同時還要注意對稱軸與函數圖象的交點的縱坐標特征。在求三角函數值的問題中，要學會用勾股數解題的方法，因為高題一般不能查表，給出的數都較特殊，因此主動發現和運用勾股數來解題能起到事半功倍的效果。

　　（6）加強三角函數應用意識的訓練，1999年高考理科第20題實質是一個三角問題，由于考生對三角函數的概念認識膚淺，不能將以角為自變量的函數迅速與三角函數之間建立聯系，造成障礙，思路受阻實際上，三角函數是以角為自變量的函數，也是以實數為自變量的函數，它產生于生產實踐，是客觀實際的抽象，同時又廣泛地應用于客觀實際，故應培養實踐第一的.觀點。總之，三角部分的考查保持了內容穩定，難度穩定，題量穩定，題型穩定，考查的重點是三角函數的概念、性質和圖象，三角函數的求值問題以及三角變換的方法。

　　（7）變為主線、抓好訓練。變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數名的變換，三角函數次數的變換，三角函數式表達形式的變換等比比皆是，在訓練中，強化“變”意識是關鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中習題進行歸類，并進行分析比較，尋找解題規律。針對高考中的題目看，還要強化變角訓練，經常注意收集角間關系的觀察分析方法。另外如何把一個含有不同名或不同角的三角函數式化為只含有一個三角函數關系式的訓練也要加強，這也是高考的重點。同時應掌握三角函數與二次函數相結合的題目。

　　（8）在復習中，應立足基本公式，在解題時，注意在條件與結論之間建立聯系，在變形過程中不斷尋找差異，講究算理，才能立足基礎，發展能力，適應高考。

　　在本章內容中，高考試題主要反映在以下三方面：其一是考查三角函數的性質及圖象變換，尤其是三角函數的最大值與最小值、周期。多數題型為選擇題或填空題；其次是三角函數式的恒等變形。如運用三角公式進行化簡、求值解決簡單的綜合題等。除在填空題和選擇題出現外，解答題的中檔題也經常出現這方面內容。

　　另外，還要注意利用三角函數解決一些應用問題。

　　三角函數的教學設計 8

　　【教學目標：】

　　1．通過對初中銳角三角函數定義的回憶，掌握任意角三角函數的定義法，并掌握用單位圓中的有向線段表示三角函數值．

　　2．掌握已知角 終邊上一點坐標，求四個三角函數值．（即給角求值問題）

　　【教學重點：】

　　任意角的三角函數的定義．

　　【教學難點：】

　　任意角的三角函數的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數的幾何表示．

　　【教學用具：】

　　直尺、圓規、投影儀．

　　【教學步驟：】

　　1．設置情境

　　角的范圍已經推廣，那么對任一角 是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數呢？本節課就來討論這一問題．

　　2．探索研究

　　（1）復習回憶銳角三角函數

　　我們已經學習過銳角三角函數，知道它們都是以銳角 為自變量，以比值為函數值，定義了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函數，本節課我們研究當角 是一個任意角時，其三角函數的定義及其幾何表示．

　　（2）任意角的三角函數定義

　　如圖1，設 是任意角， 的終邊上任意一點 的坐標是 ，當角 在第一、二、三、四象限時的情形，它與原點的距離為 ，則 ．

　　定義：①比值 叫做 的正弦，記作 ，即 ．

　　②比值 叫做 的余弦，記作 ，即 ．

　　圖1

　　③比值 叫做 的正切，記作 ，即 ．

　　同時提供顯示任意角的三角函數所在象限的課件

　　提問：對于確定的角 ，這三個比值的大小和 點在角 的終邊上的位置是否有關呢？

　　利用三角形相似的知識，可以得出對于角 ，這三個比值的大小與 點在角 的終邊上的位置無關，只與角 的大小有關．

　　請同學們觀察當 時， 的終邊在 軸上，此時終邊上任一點 的橫坐標 都等于0，所以 無意義，除此之外，對于確定的角 ，上面三個比值都是惟一確定的．把上面定義中三個比的前項、后項交換，那么得到另外三個定義．

　　④比值 叫做 的余切，記作 ，則 ．

　　⑤比值 叫做 的正割，記作 ，則 ．

　　⑥比值 叫做 的余割，記作 ，則 ．

　　可以看出：當 時， 的'.終邊在 軸上，這時 的縱坐標 都等于0，所以 與 的值不存在，當 時， 的值不存在，除此之外，對于確定的角 ，比值 ， ， 分別是一個確定的實數，所以我們把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，以比值為函數值的函數，以上六種函數統稱三角函數．

　　（3）三角函數是以實數為自變量的函數

　　對于確定的角 ，如圖2所示， ， ， 分別對應的比值各是一個確定的實數，因此，正弦，余弦，正切分別可看成從一個角的集合到一個比值的集合的映射，它們都是以角為自變量，以比值為函數值的函數，當采用弧度制來度量角時，每一個確定的角有惟一確定的弧度數，這是一個實數，所以這幾種三角函數也都可以看成是以實數為自變量，以比值為函數值的函數．

　　即：實數→角（其弧度數等于這個實數）→三角函數值（實數）

　　（4）三角函數的一種幾何表示

　　利用單位圓有關的有向線段，作出正弦線，余弦線，正切線，如下圖3．

　　圖3

　　設任意角 的頂點在原點 ，始邊與 軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點 ，過 作 軸的垂線，垂足為 ；過點 作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸，設它與角 的終邊（當 為第一、四象限時）或其反向延長線（當 為第二、三象限時）相交于 ，當角 的終邊不在坐標軸上時，我們把 ， 都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段．由正弦、余弦、正切函數的定義有：

　　這幾條與單位圓有關的有向線段 叫做角 的正弦線、余弦線、正切線．當角 的終邊在 軸上時，正弦線、正切線分別變成一個點；當角 的終邊在 軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在．

　　（5）例題講評

　　三角函數的教學設計 9

　　一、教學內容：橢圓的方程

　　要求：理解橢圓的標準方程和幾何性質．

　　重點：橢圓的方程與幾何性質．

　　難點：橢圓的方程與幾何性質．

　　二、點：

　　1、橢圓的定義、標準方程、圖形和性質

　　定 義

　　第一定義：平面內與兩個定點 ）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距

　　第二定義：

　　平面內到動點距離與到定直線距離的比是常數e．（0

　　標準方程

　　焦點在x軸上

　　焦點在y軸上

　　圖 形

　　焦點在x軸上

　　焦點在y軸上

　　性 質

　　焦點在x軸上

　　范 圍：

　　對稱性： 軸、 軸、原點．

　　頂點： ， ．

　　離心率：e

　　概念：橢圓焦距與長軸長之比

　　定義式：

　　范圍：

　　2、橢圓中a，b，c，e的關系是：（1）定義：r1＋r2=2a

　　（2）余弦定理： ＋ －2r1r2cos（3）面積： = r1r2 sin ?2c y0 （其中P（ ）

　　三、基礎訓練：

　　1、橢圓 的標準方程為 ，焦點坐標是 ，長軸長為___2____，短軸長為2、橢圓 的值是__3或5__；

　　3、兩個焦點的坐標分別為 ___；

　　4、已知橢圓 上一點P到橢圓一個焦點 的距離是7，則點P到另一個焦點5、設F是橢圓的一個焦點，B1B是短軸， ，則橢圓的離心率為6、方程 =10，化簡的結果是 ；

　　滿足方程7、若橢圓短軸上的兩個三等分點與兩個焦點構成一個正方形，則橢圓的離心率為

　　8、直線y=kx－2與焦點在x軸上的橢圓9、在平面直角坐標系 頂點 ，頂點 在橢圓 上，則10、已知點F是橢圓 的右焦點，點A（4，1）是橢圓內的一點，點P（x，y）（x≥0）是橢圓上的一個動點，則 的最大值是 8 ．

　　【典型例題】

　　例1、（1）已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，短軸長為4，求橢圓的方程．

　　解：設方程為 ．

　　所求方程為

　　（2）中心在原點，焦點在x軸上，右焦點到短軸端點的距離為2，到右頂點的距離為1，求橢圓的方程．

　　解：設方程為 ．

　　所求方程為（3）已知三點P，（5，2），F1 （-6，0），F2 （6，0）．設點P，F1，F2關于直線y=x的對稱點分別為 ，求以 為焦點且過點 的橢圓方程 ．

　　解：（1）由題意可設所求橢圓的標準方程為 ∴所以所求橢圓的標準方程為（4）求經過點M（ ， 1）的橢圓的標準方程．

　　解：設方程為

　　例2、如圖所示，我國發射的第一顆人造地球衛星運行軌道是以地心（地球的中心） 為一個焦點的橢圓，已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面439km，遠地點B（離地面最遠的點）距地面2384km，并且 、A、B在同一直線上，設地球半徑約為6371km，求衛星運行的軌道方程 （精確到1km）．

　　解：建立如圖所示直角坐標系，使點A、B、 在 軸上，則 =OA－O = A=6371＋439=6810

　　解得 =7782.5， =972.5

　　衛星運行的軌道方程為

　　例3、已知定圓

　　分析：由兩圓內切，圓心距等于半徑之差的絕對值 根據圖形，用符號表示此結論：

　　上式可以變形為 ，又因為 ，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓

　　解：知圓可化為：圓心Q（3，0），設動圓圓心為 ，則 為半徑 又圓M和圓Q內切，所以 ，即 ，故M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓，且PQ中點為原點，所以 ，故動圓圓心M的軌跡方程是：

　　例4、已知橢圓的焦點是 ｜和｜（1）求橢圓的方程；

　　（2）若點P在第三象限，且∠ =120°，求 ．

　　選題意圖：綜合考查數列與橢圓標準方程的基礎知識，靈活運用等比定理進行解題．

　　解：（1）由題設｜ ｜=2｜ ｜=4

　　∴ ， 2c=2， ∴ｂ=∴橢圓的方程為 ．

　　（2）設∠ ，則∠ =60°－θ

　　由正弦定理得：

　　由等比定理得：

　　整理得： 故

　　說明：曲線上的點與焦點連線構成的三角形稱曲線三角形，與曲線三角形有關的問題常常借助正（余）弦定理，借助比例性質進行處理．對于第二問還可用后面的幾何性質，借助焦半徑公式余弦定理把P點橫坐標先求出來，再去解三角形作答

　　例5、如圖，已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2，從這個圓上任意一點P向 軸作垂線段PP?@，求線段PP?@的中點M的軌跡（若M分 PP?@之比為 ，求點M的軌跡）

　　解：（1）當M是線段PP?@的中點時，設動點 ，則 的坐標為

　　因為點 在圓心為坐標原點半徑為2的圓上，所以有 所以點

　　（2）當M分 PP?@之比為 時，設動點 ，則 的坐標為

　　因為點 在圓心為坐標原點半徑為2的圓上，所以有 ，即所以點

　　例6、設向量 =（1， 0）， =（x＋m） ＋y =（x－m） ＋y ＋ （I）求動點P（x，y）的軌跡方程；

　　（II）已知點A（－1， 0），設直線y= （x－2）與點P的軌跡交于B、C兩點，問是否存在實數m，使得 ？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

　　解：（I）∵ =（1， 0）， =（0， 1）， =6

　　上式即為點P（x， y）到點（－m， 0）與到點（m， 0）距離之和為6．記F1（－m， 0），F2（m， 0）（0

　　∴ PF1＋PF2=6＞F1F2

　　又∵x＞0，∴P點的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓的右半部分．

　　∵ 2a=6，∴a=3

　　又∵ 2c=2m，∴ c=m，b2=a2－c2=9－m2

　　∴ 所求軌跡方程為 （x＞0，0＜m＜3）

　　（ II ）設B（x1， y1），C（x2， y2），∴∴ 而y1y2= （x1－2）? （x2－2）

　　= [x1x2－2（x1＋x2）＋4]

　　∴ [x1x2－2（x1＋x2）＋4]

　　= [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]

　　若存在實數m，使得 成立

　　則由 [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]=

　　可得10x1x2＋7（x1＋x2）＋10=0 ①

　　再由

　　消去y，得（10－m2）x2－4x＋9m2－77=0 ②

　　因為直線與點P的軌跡有兩個交點．

　　所以

　　由①、④、⑤解得m2= ＜9，且此時△＞0

　　但由⑤，有9m2－77= ＜0與假設矛盾

　　∴ 不存在符合題意的實數m，使得

　　例7、已知C1： ，拋物線C2：（y－m）2=2px （p＞0），且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點．

　　（Ⅰ）當AB⊥x軸時，求p、m的`值，并判斷拋物線C2的.焦點是否在直線AB上；

　　（Ⅱ）若p= ，且拋物線C2的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程．

　　解：（Ⅰ）當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m=0，直線AB的方程為x=1，從而點A的坐標為（1， ）或（1，－ ）．

　　∵點A在拋物線上，∴

　　此時C2的焦點坐標為（ ，0），該焦點不在直線AB上．

　　（Ⅱ）當C2的焦點在AB上時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=k（x－1）．

　　由 （kx－k－m）2= ①

　　因為C2的焦點F（ ，m）在y=k（x－1）上．

　　所以k2x2－ （k2＋2）x＋ =0 ②

　　設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2=

　　由

　　（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12=0 ③

　　由于x1、x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2=

　　從而 = k2=6即k=±

　　又m=－ ∴m= 或m=－

　　當m= 時，直線AB的方程為y=－ （x－1）；

　　當m=－ 時，直線AB的方程為y= （x－1）．

　　例8、已知橢圓C： （a＞0，b＞0）的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為e．直線l：y=ex＋a與x軸，y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關于直線l的對稱點，設 = ．

　　（Ⅰ）證明：（Ⅱ）若 ，△MF1F2的周長為6，寫出橢圓C的方程；

　　（Ⅲ）確定解：（Ⅰ）因為A、B分別為直線l：y=ex＋a與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是A（－ ，0），B（0，a）．

　　由 得 這里∴M = ，a）

　　即 解得

　　（Ⅱ）當 時， ∴a=2c

　　由△MF1F2的周長為6，得2a＋2c=6

　　∴a=2，c=1，b2=a2－c2=3

　　故所求橢圓C的方程為

　　（Ⅲ）∵PF1⊥l ∴∠PF1F2=90°＋∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2，即 PF1=C．

　　設點F1到l的距離為d，由

　　PF1= =得： =e ∴e2= 于是

　　即當（注：也可設P（x0，y0），解出x0，y0求之）

　　【模擬】

　　一、選擇題

　　1、動點M到定點 和 的距離的和為8，則動點M的軌跡為 （ ）

　　A、橢圓 B、線段 C、無圖形 D、兩條射線

　　2、設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 （ ）

　　A、 C、2－ －1

　　3、（20xx年高考湖南卷）F1、F2是橢圓C： 的焦點，在C上滿足PF1⊥PF2的點P的個數為（ ）

　　A、2個 B、4個 C、無數個 D、不確定

　　4、橢圓 的左、右焦點為F1、F2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點，則△ABF2的周長為 （ ）

　　A、32 B、16 C、8 D、4

　　5、已知點P在橢圓（x－2）2＋2y2=1上，則 的最小值為（ ）

　　A、 C、

　　6、我們把離心率等于黃金比 是優美橢圓，F、A分別是它的左焦點和右頂點，B是它的短軸的一個端點，則 等于（ ）

　　A、 C、

　　二、填空題

　　7、橢圓 的頂點坐標為 和 ，焦點坐標為 ，焦距為 ，長軸長為 ，短軸長為 ，離心率為 ，準線方程為 ．

　　8、設F是橢圓 的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi（i=1，2， ），使得FP1、FP2、FP3…組成公差為d的等差數列，則d的取值范圍是 ．

　　9、設 ， 是橢圓 的兩個焦點，P是橢圓上一點，且 ，則得 ．

　　10、若橢圓 =1的準線平行于x軸則m的取值范圍是

　　三、解答題

　　11、根據下列條件求橢圓的標準方程

　　（1）和橢圓 共準線，且離心率為 ．

　　（2）已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為 和 ，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點．

　　12、已知 軸上的一定點A（1，0），Q為橢圓 上的動點，求AQ中點M的軌跡方程

　　13、橢圓 的焦點為 =（3， －1）共線．

　　（1）求橢圓的離心率；

　　（2）設M是橢圓上任意一點，且 = 、 ∈R），證明 為定值．

　　【試題答案】

　　1、B

　　2、D

　　3、A

　　4、B

　　5、D（法一：設 ，則y=kx代入橢圓方程中得：（1＋2k2）x2－4x＋3=0，由△≥0得： ．法二：用橢圓的參數方程及三角函數的有界性求解）

　　6、C

　　7、（ ；（0， ）；6；10；8； ； ．

　　8、 ∪

　　9、

　　10、m＜ 且m≠0．

　　11、（1）設橢圓方程 ．

　　解得 ， 所求橢圓方程為（2）由 ．

　　所求橢圓方程為 的坐標為

　　因為點 為橢圓 上的動點

　　所以有

　　所以中點

　　13、解：設P點橫坐標為x0，則 為鈍角．當且僅當 ．

　　14、（1）解：設橢圓方程 ，F（c，0），則直線AB的方程為y=x－c，代入 ，化簡得：

　　x1x2=

　　由 =（x1＋x2，y1＋y2）， 共線，得：3（y1＋y2）＋（x1＋x2）=0，又y1=x1－c，y2=x2－c

　　∴ 3（x1＋x2－2c）＋（x1＋x2）=0，∴ x1＋x2=

　　即 = ，∴ a2=3b2

　　∴ 高中地理 ，故離心率e= ．

　　（2）證明：由（1）知a2=3b2，所以橢圓 可化為x2＋3y2=3b2

　　設 = （x2，y2），∴ ，∵M∴ （ ）2＋3（ ）2=3b2

　　即： ）＋ （由（1）知x1＋x2= ，a2= 2，b2= c2．

　　x1x2= = 2

　　x1x2＋3y1y2=x1x2＋3（x1－c）（x2－c）

　　=4x1x2－3（x1＋x2）c＋3c2= 2－ 2＋3c2=0

　　又 =3b2代入①得

　　為定值，定值為1．

　　三角函數的教學設計 10

　　教學目的：

　　知識目標：1.理解三角函數定義. 三角函數的定義域，三角函數線.

　　2.理解握各種三角函數在各象限內的符號.?

　　3.理解終邊相同的角的同一三角函數值相等.

　　能力目標：

　　1.掌握三角函數定義. 三角函數的定義域，三角函數線.

　　2.掌握各種三角函數在各象限內的符號.?

　　3.掌握終邊相同的角的同一三角函數值相等.

　　授課類型：復習課

　　教學模式：講練結合

　　教 具：多媒體、實物投影儀

　　教學過程：

　　一、復習引入：

　　1、三角函數定義. 三角函數的定義域，三角函數線，各種三角函數在各象限內的符號.誘導公式第一組.

　　2.確定下列各式的符號

　　(1)sin100°cs240° (2)sin5+tan5

　　3. .x取什么值時, 有意義?

　　4．若三角形的兩內角，滿足sincs 0，則此三角形必為……（ ）

　　A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D以上三種情況都可能

　　5．若是第三象限角，則下列各式中不成立的是………………（ ）

　　A：sin+cs 0 B：tansin 0

　　C：csct 0 D：ctcsc 0

　　6．已知是第三象限角且，問是第幾象限角？

　　二、講解新課：

　　1、求下列函數的定義域：

　　（1） ； （2）

　　2、已知 ，則為第幾象限角？

　　3、（1） 若θ在第四象限，試判斷sin(csθ)cs(sinθ)的符號；

　　（2）若tan(csθ)ct(sinθ)>0,試指出θ所在的象限，并用圖形表示出 的取值范圍.

　　4、求證角θ為第三象限角的.充分必要條件是

　　證明：必要性：∵θ是第三象限角，?

　　∴

　　充分性：∵sinθ＜0，∴θ是第三或第四象限角或終邊在ｙ軸的非正半軸上

　　∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?

　　∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?

　　∴θ為第三象限角.?

　　5 求值：sin(-1320°)cs1110°+cs(-1020°)sin750°+tan495°．

　　三、鞏固與練習

　　1 求函數 的值域

　　2 設是第二象限的角，且 的范圍.

　　四、小結：

　　五、課后作業：

　　1、利用單位圓中的三角函數線，確定下列各角的.取值范圍：

　　(1) sinα

　　2、角α的終邊上的點P與A（a,b）關于x軸對稱 ，角β的終邊上的點Q與A關于直線=x對稱.求sinαescβ+tanαctβ+secαcscβ的值.

　　三角函數的教學設計 11

　　[教材分析]：

　　反三角函數的重點是概念，關鍵是反三角函數與三角函數之間的聯系與區別。內容上，自然是定義和函數性質、圖象;教學方法上，著重強調類比和比較。

　　(1)立足課本、抓好基礎

　　現在高考非常重視三角函數圖像與性質等基礎知識的考查，所以在學習中首先要打好基礎。

　　(2)三角函數的定義一定要清楚

　　我們在學習三角函數時，老師就會強調我們要把角放在平面直角坐標系中去討論。角的頂點放在坐標原點，始邊放在X的軸的正半軸上，這樣再強調六種三角函數只與三個量有關:即角的終邊上任一點的橫坐標x、縱坐標y以及這一點到原點的距離r中取兩個量組成的比值，這里得強調一下，對于任意一個α一經確定，它所對的.每一個比值是確定的，也就說是它們之間滿足函數關系。并且三者的關系是，x2+y2=r2，x，y可以任意取值，r只能取正數。

　　(3)同角的三角函數關系

　　同角的三角函數關系可以分為平方關系：sin2α+cos2α=1、tan2α+1=sec2α、cotα2+1=csc2α，倒數關系：tanαcotα=1,商的關系:tanα=sinα/cosα等等,對于同角的三角函數，直接用三角函數的定義證明比較容易，記憶也比較方便，相關角的三角函數的關系可以分為終邊相同的角、終邊關于x軸對稱的角、終邊關于直線y=x對稱的角、終邊關于y軸對稱的角、終邊關于原點對稱的角五種關系。

　　(4)加強三角函數應用意識

　　三角函數產生于生產實踐，也被廣泛應用與實踐，因此，應該培養我們對三角函數的應用能力。

　　如何學好高中三角函數的方法就是以上的四點，在這四點的基礎上大家可以尋找最適合自己的點側重去運用。

　　1教學目標

　　⑴:使學生理解直角三角形中五個元素的關系，會運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形

　　⑵:通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形，逐步培養學生分析問題、解決問題的能力. ⑶:滲透數形結合的數學思想，培養學生良好的`學習習慣.

　　2學情分析

　　學生在具備了解直角三角形的基本性質后再對所學知識進行整合后利用才學習直角三角形邊角關系來解直角三角形。所以以舊代新學生易懂能理解。

　　3重點難點

　　重點：直角三角形的解法

　　難點：三角函數在解直角三角形中的靈活運用以實例引入，解決重難點。

　　4教學過程

　　4.1第一學時教學活動活動1導入

　　一、復習舊知，引入新課

　　一、復習舊知，引入新課

　　1.在三角形中共有幾個元素? 2.直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個元素間有哪些等量關系呢?

　　答：(1)、三邊之間關系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) (2)、銳角之間關系：∠A+∠B=90° (3)、邊角之間關系

　　以上三點正是解的依據.

　　3、如果知道直角三角形2個元素，能把剩下三個元素求出來嗎?經過討論得出解直角三角形的概念。

　　復習直角三角形的相關知識，以問題引入新課

　　注重學生的參與，這個過程一定要學生自己思考回答，不能讓老師總結得結論。

　　PPT，使學生動態的復習舊知

　　活動2講授

　　二、例題分析教師點撥

　　例1在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且b=，a=，解這個直角三角形.例2在Rt△ABC中，∠B =35o，b=20，解這個直角三角形

　　活動3練習

　　三、課堂練習學生展示

　　完成課本91頁練習

　　1、Rt△ABC中，若sinA= ,AB=10，那么BC=XXXXX，tanB=XXXXXX.

　　2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，c=，解這個直角三角形.

　　3、如圖，在△ABC中，∠C=90°，sinA= AB=15，求△ABC的周長和tanA的值

　　4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解這個直角三角形(結果保留三位小數).

　　四、課堂小結

　　1)、邊角之間關系2)、三邊之間關系

　　3)、銳角之間關系∠A+∠B=90°.

　　4)、“已知一邊一角，如何解直角三角形?”

　　活動5作業

　　五、作業設置

　　課本第96頁習題28.2復習鞏固第1題、第2題。

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