勾股定理的逆定理教學(xué)設(shè)計
勾股定理的逆定理教學(xué)設(shè)計
目標和目標解析
1.目標
(1)理解勾股定理的逆定理.
(2)了解互逆命題、互逆定理.
2.目標解析
達成目標(1)的標志是學(xué)生經(jīng)歷“實驗測量-猜想-論證”的定理探究過程后,能應(yīng)用勾股定理的逆定理來判定一個三角形是直角三角形;
目標(2)能根據(jù)原命題寫出它的逆命題,并了解原命題為真命題時,逆命題不一定為真命題.
三、教學(xué)問題診斷分析
勾股定理的逆定理的證明是先作一個合適的直角三角形,再證明有已知條件的三角形和直角三角形全等等,這種證法學(xué)生不容易想到,難以理解,在教學(xué)時應(yīng)該注意啟發(fā)引導(dǎo).
本課的教學(xué)難點是證明勾股定理的逆定理.
四、教學(xué)過程設(shè)計
1.創(chuàng)設(shè)問題情境
問題1 你能說出勾股定理嗎?并指出定理的題設(shè)和結(jié)論.
師生活動:學(xué)生獨立回憶勾股定理,師生共同分析得出其題設(shè)和結(jié)論,教師引導(dǎo)指出勾股定理是從形的特殊性得出三邊之間的數(shù)量關(guān)系.
追問1:你能把勾股定理的題設(shè)與結(jié)論交換得到一個新的命題嗎?
師生活動:師生共同得出新的命題, 教師指出其為勾股定理的逆命題.
追問2:“如果三角形三邊長、b、c滿足,那么這個三角形是直角三角形.”能否把它作為判定直角三角形的依據(jù)呢?本節(jié)課我們一起來研究這個問題.
【設(shè)計意圖】通過對前面所學(xué)知識的歸納總結(jié),自然合理地引出勾股定理的逆定理.
問題2 實驗觀察:用一根打上13個等距離結(jié)的細繩子,讓學(xué)生操作,以3個結(jié)間距、4個結(jié)間距、5個結(jié)間距的長度為邊長,用釘子釘成一個三角形,請學(xué)生用角尺量出最大角的度數(shù)(900).
師生活動:學(xué)生動手操作,教師適時指導(dǎo),并介紹這是古埃及人畫直角的方法.
追問:你能計算出三邊長的關(guān)系嗎?
師生活動:師生共同得出.
【設(shè)計意圖】介紹前人經(jīng)驗,啟發(fā)思考,使學(xué)生意識到數(shù)學(xué)來源于生活.
實驗操作:(1)畫一畫,下列各組數(shù)中兩個數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方,分別以這些數(shù)為邊長(單位:cm)畫三角形:
①2.5,6,6.5;②4,7.5,8.5.
(2)量一量:用量角器分別測量上述各三角形的最大角的度數(shù).
(3)想一想:判斷這些三角形的形狀,提出猜想.
師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生畫三角形,并計算三邊的數(shù)量關(guān)系:,. 接著度量三角形最大角的度數(shù),發(fā)現(xiàn)最大角為900,并猜想:如果三角形的三邊長、b、c滿足,那么這個三角形是直角三角形.把勾股定理記著命題1,猜想的結(jié)論作為命題2.
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷測量、計算、歸納和猜想的過程,了解幾何知識的探索過程.
問題3 命題1和命題2的題設(shè)和結(jié)論分別是什么?
師生活動:學(xué)生獨立思考回答問題,命題1的題設(shè)是直角三角形的'兩直角邊分別,斜邊為,結(jié)論是;命題2的題設(shè)是三角形三邊長滿足,結(jié)論是這個三角形是直角三角形.教師引導(dǎo)學(xué)生分析得出這兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好是相反的.歸納出互逆命題概念:兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反,象這樣的兩個命題叫做互逆命題,如果其中一個叫原命題,那么另一個就叫做它的逆命題.
問題4 請同學(xué)們舉出一些互逆命題,并思考:原命題正確,它的逆命題是否也正確呢?舉例說明.
師生活動:學(xué)生分組討論合作交流,然后舉手發(fā)言,教師適時記下一些互逆命題,其中既包含有原命題、逆命題都成立的互逆命題,也包括原命題成立逆命題不成立的互逆命題.(如:①對頂角相等和相等的角是對頂角②兩直線平行,內(nèi)錯角相等和內(nèi)錯角相等,兩直線平行③全等三角形的對應(yīng)角相等和對應(yīng)角相等的三角形是全等三角形.)
追問1: 在我們大家舉出的互逆命題中原命題和逆命題都成立嗎?
師生活動:學(xué)生舉手發(fā)言回答,另一學(xué)生糾錯.同時教師引導(dǎo)學(xué)生明確:(1)任何一個命題都有逆命題,(2)原命題是正確,逆命題不一定正確,原命題不正確,逆命題可能正確,(3)原命題與逆命題的關(guān)系就是命題中題設(shè)與結(jié)論“互換”的關(guān)系.
【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在合作交流的基礎(chǔ)上明確互逆命題的概念,在生生互動的過程中掌握互逆命題的真假性是各自獨立的.
2.勾股定理的逆定理的證明
問題5 原命題正確,它的逆命題不一定正確.那么勾股定理的逆命題正確嗎?如果你認為是真確的,你能證明這個命題“如果三角形的三邊長、b、c滿足,那么這個三角形是直角三角形”嗎?
師生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生要證明一個命題是真命題,首先要分析命題的題設(shè)及結(jié)論,讓學(xué)生獨立畫出圖形,寫出已知求證.
3. 已知,如圖,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=,且,
求證:∠C=900
【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生用圖形和數(shù)學(xué)符號語言表示文字命題.
追問:要證明△ABC是直角三角形,只要證明∠C=900,
由已知能直接證嗎?
師生活動:教師引導(dǎo),如果能證明△ABC與一個以、b為直角邊長的Rt△A/B/C/全等。那么就證明了△ABC是直角三角形,為此,可以先構(gòu)造Rt△A/B/C/,使A/C/=b,B/C/=,
∠C/=900,再讓學(xué)生小組討論得出證明思路,證明了猜想的正確性.教師適時板書出規(guī)范的證明過程.
4..課堂小結(jié)
(1)勾股定理的逆定理的內(nèi)容是什么?
(2)原命題、逆命題之間的關(guān)系.
(3)用什么方法證明勾股定理的逆定理.
【設(shè)計意圖】回顧和梳理勾股定理的逆定理,會運用其解決一些問題,體會構(gòu)造及數(shù)學(xué)建模思想.
6.布置作業(yè)
教科書第33頁練習(xí)第1,2題,習(xí)題17.2第4,5題.
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