函數(shù)的定義域教學(xué)設(shè)計(jì)

時(shí)間：2021-06-11 18:45:52 教學(xué)設(shè)計(jì) 我要投稿

　　一. 教學(xué)內(nèi)容：

函數(shù)的定義域教學(xué)設(shè)計(jì)

　　函數(shù)的定義域與值域、單調(diào)性與奇偶性

　　二. 教學(xué)目標(biāo)：

　　理解函數(shù)的性質(zhì)，能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題。

　　三. 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用．

　　四. 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的理解。

　　［學(xué)習(xí)過(guò)程］

　　一、知識(shí)歸納：

　　1. 求函數(shù)的解析式

　�。�1）求函數(shù)解析式的常用方法：

　　①換元法（注意新元的取值范圍）

　　②待定系數(shù)法（已知函數(shù)類(lèi)型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）

　　③整體代換（配湊法）

　�、軜�(gòu)造方程組（如自變量互為倒數(shù)、已知f（x）為奇函數(shù)且g（x）為偶函數(shù)等）

　�。�2）求函數(shù)的解析式應(yīng)指明函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域是使式子有意義的自變量的取值范圍，同時(shí)也要注意變量的實(shí)際意義。

　�。�3）理解軌跡思想在求對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)中的應(yīng)用。

　　2. 求函數(shù)的定義域

　　求用解析式y(tǒng)＝f（x）表示的函數(shù)的定義域時(shí)，常有以下幾種情況：

　�、偃鬴（x）是整式，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R；

　�、谌鬴（x）是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實(shí)數(shù)集；

　�、廴鬴（x）是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)集合；

　　④若f（x）是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合；

　　⑤若f（x）是由實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題.

　　3. 求函數(shù)值域（最值）的一般方法：

　�。�1）利用基本初等函數(shù)的值域；

　�。�2）配方法（二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)）；

　　（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函數(shù)）

　�。�4）函數(shù)的單調(diào)性：特別關(guān)注的圖象及性質(zhì)

　　（5）部分分式法、判別式法（分式函數(shù)）

　�。�6）換元法（無(wú)理函數(shù)）

　�。�7）導(dǎo)數(shù)法（高次函數(shù)）

　�。�8）反函數(shù)法

　　（9）數(shù)形結(jié)合法

　　4. 求函數(shù)的單調(diào)性

　�。�1）定義法：

　　（2）導(dǎo)數(shù)法：

　�。�3）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

　�。�4）關(guān)于函數(shù)單調(diào)性還有以下一些常見(jiàn)結(jié)論：

　　①兩個(gè)增（減）函數(shù)的和為_(kāi)____；一個(gè)增（減）函數(shù)與一個(gè)減（增）函數(shù)的差是______；

　�、谄婧瘮�(shù)在對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上有_____的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上有_____的單調(diào)性；

　�、刍榉春瘮�(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自定義域上有______的單調(diào)性；

　　（5）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：定義法、圖象法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等

　�。�6）應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。

　　5. 函數(shù)的奇偶性

　　奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，比較f（x）與f（－x）的關(guān)系。f（x）－f（－x）＝0 f（x）＝f（－x） f（x）為偶函數(shù)；

　　f（x）+f（－x）＝0 f（x）＝－f（－x） f（x）為奇函數(shù)。

　　判別方法：定義法，圖象法，復(fù)合函數(shù)法

　　應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。

　　6. 周期性：定義：若函數(shù)f（x）對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿(mǎn)足：f（x+T）＝f（x），則T為函數(shù)f（x）的周期。

　　其他：若函數(shù)f（x）對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿(mǎn)足：f（x+a）＝f（x－a），則2a為函數(shù)f（x）的周期.

　　應(yīng)用：求函數(shù)值和某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)解析式。

　　二、典型例題分析

　　例1. 若集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2} 求從集合A到集合B的映射的個(gè)數(shù)。

　　分析：解決這類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵是要掌握映射的概念：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，按照某種對(duì)應(yīng)法則f，若集合B中都有唯一確定的元素和它對(duì)應(yīng)，這時(shí)對(duì)應(yīng)法則f叫做從集合A到集合B的映射。這里要掌握關(guān)鍵的兩個(gè)詞“任何”、“唯一”。對(duì)于本例，集合A＝{a1，a2，a3}中的每一個(gè)元素的象都有b1或b2這兩種情形，由乘法原理可知，A到B的映射的個(gè)數(shù)共有N＝222＝8個(gè)。

　　例2. 線(xiàn)段|BC|＝4，BC的中點(diǎn)為M，點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)的距離之和為6，設(shè)|AM|＝y(tǒng)，|AB|＝x，求y＝f（x）的函數(shù)表達(dá)式及這函數(shù)的定義域。

　　解：1若A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)，如圖所示，由余弦定理可知，

　　x2＝22+y2－4ycosAMB ①

　　（6－x）2＝22+y2－4ycos（180－AMB） ②

　　①+② x2+（6－x）2＝2y2+8 y2＝x2－6x+14

　　又 x2－6x+14＝（x－3）2+5恒正，

　　又三點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形

　　1＜x＜5

　　2若三點(diǎn)A、B、C共線(xiàn)，由題意可知，

　　x+4＝6－x，x＝1 或4+6－x＝x x＝5

　　綜上所述：

　　說(shuō)明：第一，首先要分析三點(diǎn)A、B、C是否在同一條直線(xiàn)上，因?yàn)橛深}意，A、B、C不一定能構(gòu)成三角形，它們也可在同一條直線(xiàn)上，所以要分兩種情形來(lái)討論。第二，實(shí)際問(wèn)題在求解析式時(shí)要特別注意函數(shù)的定義域。

　　例3. 設(shè)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x－1時(shí)，y＝f（x）的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－2，0），斜率為1的射線(xiàn)，又在y＝f（x）的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在（0，2），且過(guò)點(diǎn)（－1，1）的一段拋物線(xiàn)，試寫(xiě)出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并在圖中作出其圖象。

　　解：（1）當(dāng)x－1時(shí)，設(shè)f（x）＝x+b

　　∵射線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（－2，0） 0＝－2+b即b＝2，f（x）＝x+2

　　（2）當(dāng)－11時(shí)，設(shè)f（x）＝ax2+2

　　∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（－1，1），1＝a（－1）2+2，即a＝－1

　　f（x）＝－x2+2

　�。�3）當(dāng)x1時(shí)，f（x）＝－x+2

　　綜上可知：f（x）＝作圖由讀者來(lái)完成。

　　例4. 求下列函數(shù)的定義域

　�。�1）（2）

　　解：（1）

　　x4或x－1且x－3，即函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ�，�?）（－3，－1）[4，+]

　�。�2），則

　　0x2－3x－108，即

　�。�3x＜－2或5＜x6即定義域?yàn)閇－3，－2]（5，6）

　　說(shuō)明：求函數(shù)的定義域，我們常常可以從以下三個(gè)方面來(lái)考慮：若有分母則分母不為零、若有偶次根式則被開(kāi)方數(shù)大于或等于零、若有對(duì)數(shù)式，則真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1。求函數(shù)的定義域，實(shí)質(zhì)上就是求由以上不等式組成的'不等式組的解集。

　　變、已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇－1，4]，求的定義域。

　　解：，則

　　又，或

　　則或即為所求函數(shù)的定義域。

　　說(shuō)明：此題實(shí)質(zhì)上是求復(fù)合函數(shù)的定義域，我們把看成是由y＝f（u）、兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的，因?yàn)椋?u＜4，則，從而求出x的范圍，另外，對(duì)不等式進(jìn)行倒數(shù)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意不等式兩邊必須同號(hào)，取倒數(shù)后不等號(hào)的方向改變，這里也是學(xué)習(xí)時(shí)常常容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，應(yīng)加以重視。

　　例5. 若對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，不等式：恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

　　解：令f（x）＝|x－1|+2|x－2|，去絕對(duì)值把f（x）表示成分段函數(shù)后為

　　5－3x x＜1

　　f（x）＝ 3－xx2

　　3x－5 x＞2

　　作出y＝f（x）的圖象如圖，由此可知f（x）的最小值為1，f（x）＞a對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則a＜1。

　　說(shuō)明：該題看上去是一個(gè)不等式的問(wèn)題，若用去絕對(duì)值分類(lèi)討論的方法來(lái)求解則比較繁鎖，而如果注意到不等式左邊是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)，只要利用數(shù)形結(jié)合的思想求出此函數(shù)的最小值就很快解決了問(wèn)題，這種解題思想應(yīng)引起我們的注意。另外，對(duì)于函數(shù)f（x）＝|x－1|+2|x－2|只要把它寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，作出函數(shù)的圖象，則該函數(shù)的所有性質(zhì)，包括函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，值域等一切問(wèn)題都可以迎刃而解了。

　　例6. 求函數(shù) 的值域。

　　解：令，則13－4x＝t2

　　該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為t＝1，又t0由二次函數(shù)的性質(zhì)可知y4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1即x＝3時(shí)等式成立，原函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?）。

　　說(shuō)明：對(duì)于所有形如的函數(shù)，求值域時(shí)我們可以用換元法令

　　轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)在區(qū)間[0，+）上的最值來(lái)處理。這里要注意t0的范圍不能少。如：已知f（x）的值域?yàn)?，試求函數(shù) 的值域。該題我們只需要把f（x）看成是一個(gè)變量，則求值域時(shí)仍可用上述換元法，但是如果被開(kāi)方數(shù)不是關(guān)于x的一次式，而含x的平方項(xiàng)，則就不能用上述換元法了。如求函數(shù) 的值域，若令，則x無(wú)法用t來(lái)表示。這里我們?nèi)绻⒁獾絰的取值范圍：－22，則－11的話(huà)，我們就可以用三角換元：令 [0，]，問(wèn)題也就轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值了。同樣我們作三角換元時(shí)，要注意的限制條件，因?yàn)楫?dāng)取遍0到之間的每一個(gè)值時(shí)，恰好可以取遍－1到1之間的每一個(gè)值，若不限制的范圍，則根號(hào)無(wú)法直接去掉，就會(huì)給我們解題增添麻煩。

　　例7. 求下列函數(shù)的最值。

　　（1）（2）

　　解：（1）先求出函數(shù)的定義域：

　�。�27，又在區(qū)間[－2，7]上函數(shù) 單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在定義域內(nèi)也單調(diào)遞增。

　　當(dāng)x＝－2時(shí)，；當(dāng)x＝7時(shí)，

　�。�2）∵ 0 y2＝x2（1－x2）由基本不等式可知：

　　y2＝x2（1－x2），又y，。

　　說(shuō)明：對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)，求值域或最值時(shí)，如果我們能利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性或運(yùn)用基本不等式，問(wèn)題往往會(huì)很快得到解決。在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要注意“一正二定三相等”的條件，特別是要注意等號(hào)能否成立。

　　例8. 設(shè)a＞0，x[－1，1]時(shí)函數(shù)y＝－x2－ax+b有最小值－1，最大值1，求使函數(shù)取得最小值和最大值時(shí)相應(yīng)的x的值。

　　解：

　　∵a＞0，＜0，又定義域?yàn)閇－1，1]

　　x＝1時(shí) ，即－1－a+b＝－1 a－b＝0

　　下面分a的情形來(lái)討論：

　　1當(dāng)0＞－1即0＜a2時(shí)，

　　當(dāng) 時(shí)，即，則

　　a2+4a－4＝0，

　　又a（0，2），則

　　2當(dāng) ＜－1，即a＞2時(shí)，當(dāng)x＝－1時(shí)

　　－1+a+b＝1，a+b＝2 又a＝b a＝1 與a＞2矛盾，舍去

　　綜上所述：x＝1時(shí)，，時(shí) 。

　　例9. 已知函數(shù)y＝f（x）＝（a，b，cR，a0，b0）是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）

　�。�1）試求函數(shù)f（x）的解析式；

　�。�2）問(wèn)函數(shù)f（x）的圖象上是否存在關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由

　　解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，

　　f（－x）＝－f（x），即

　　c＝0，∵a0，b0，x0，f（x）＝ 2 ，

　　當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)等號(hào)成立，于是2 ＝2，a＝b2，

　　由f（1）＜得＜即＜，2b2－5b+2＜0，解得＜b＜2，又bN，b＝1，a＝1，f（x）＝x+

　　（2）設(shè)存在一點(diǎn)（x0，y0）在y＝f（x）的圖象上，并且關(guān)于（1，0）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（2－x0，－y0）也在y＝f（x）的圖象上，則

　　消去y0得x02－2x0－1＝0，x0＝1

　　y＝f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)（1+ ，2 ），（1－，－2 ）關(guān)于（1，0）對(duì)稱(chēng)

　　例10. 已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）在［0，+）上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使f（cos2－3）+f（4m－2mcos）f（0）對(duì)所有［0，］都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說(shuō)明理由

　　解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，且在［0，+）上是增函數(shù)，f（x）是R上的增函數(shù) 于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f（cos2－3）f（2mcos－4m），

　　即cos2－32mcos－4m，即cos2－mcos+2m－2

　　設(shè)t＝cos，則問(wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)

　　g（t）?＝t2－mt+2m－2＝（t－）2－ +2m－2在［0，1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（t）在［0，1］上的最小值為正

　　當(dāng) 0，即m0時(shí)，g（0）＝2m－21與m0不符；

　　當(dāng)01時(shí)，即02時(shí)，g（m）＝－ +2m－20

　　4－2 4+2 ，?4－2 2

　　當(dāng) 1，即m2時(shí)，g（1）＝m－11 m2

　　綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m4－2

　　另法（僅限當(dāng)m能夠解出的情況）cos2－mcos+2m－20對(duì)于［0，］恒成立，

　　等價(jià)于m（2－cos2）/（2－cos）對(duì)于［0，］恒成立

　　∵當(dāng)［0，］時(shí)，（2－cos2）/（2－cos） 4－2 ，