湘教版高二數學解析幾何的初步教學計劃

　　數學分析

　　1.解析幾何是利用代數方法來研究幾何圖形性質的一門學科，它包括平面解析幾何和空間解析幾何兩部分.它的主要研究對象是直線和平面、二次曲線和二次曲面.在大學階段，“解析幾何”是以圓錐曲線和圓錐曲面為研究對象的一門學科，研究三元二次方程表示的曲線和曲面，如空間直線、平面、柱面、錐面、旋轉曲面和二次曲面的方程等，研究的內容比較固定，研究方法比較成熟.高中階段主要研究二元二次方程所表示的曲線，比如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等.

　　2.“解析幾何思想”代表了研究曲線和曲面的一般方法和手段，即用代數為工具解決幾何問題.用解析幾何的思想方法來研究幾何問題，思維工程可以表現為以下步驟：第一，用代數的語言來描述幾何圖形，例如“點”可以用“數對”表示，“曲線”可以用“方程”表示等;第二，把幾何問題轉化為代數問題，例如，“兩直線平行”可以轉化為“兩直線方程組成的方程組無解”等;第三，實施代數運算，求解代數問題;第四，將代數解轉化為幾何結論.隨著數學本身的發展，出現了代數數論、代數幾何等的數學分支，而拓撲學、泛函等代數工具都可以作為研究心得曲線和曲面的工具，這些都是“解析幾何思想”的發展個推廣.解析幾何初步的重點是幫助學生理解解析幾何的基本思想，即把代數作為一種工具和手段來研究幾何問題.

　　3.“坐標系”是解析幾何思想的主要組成部分，因為建立了坐標系，就能把曲線和曲面的性質用代數來表示，從而把幾何問題轉化為代數問題來解決.適當地選擇坐標系可以大大簡化對圖形性質的研究，但圖形的性質不會豎著坐標系的變化而改變.我們要研究的正是那些和坐標系的選擇無關的性質;或者說建立坐標系正是為了擺脫圖形對坐標系的依賴，這在對數上就表現為某個線性變換群下的不變量和不變關系.

　　4.圓錐曲線是我們生活中最基本的圖形.①圓錐曲線(面)可以幫助我們刻畫一些基本的運動.例如，太陽系中，八大行星的運動軌跡都是橢圓.②光學性質和圓錐曲線是密不可分的，基本的光學性質都是由圓錐曲線體現出來的.例如，探照燈就是利用拋物面的光學性質制作而成的，它可以將點光源發出的光折射成平行光，照射到足夠遠的地方.幾乎所有的光學儀器都是依照圓錐曲線(面)的性質制成的`.③研究圓錐曲線(面)的性質時體現解析幾何本質的最好載體，即便是在大學數學系的學習中，如何利用方程的系數確定二次曲線的形狀，揭示其規律也是數學的經典內容.

　　教育分析

　　1.有助于學生數形結合思想的培養.

　　解析幾何的本質是用代數的方法研究圖形的幾何性質，它溝通了代數與幾何之間的聯系，體現了數形結合的重要思想.在解析幾何初步的學習中，經歷將幾何問題代數化、處理代數問題、分析代數結果的幾何含義、解決幾何問題的過程，有助于學生認識數學內容之間的內在聯系，體會數形結合的思想，形成正確的數學觀.

　　2.是培養學生運算能力的重要載體.

　　運算思想是數學中最重要的思想之一.解析幾何的運算，往往有較強的綜合性，設計相應的代數方程知識(包括消元思想、整體思想、函數思想、同解原理、韋達定理、方程的解、構造不等式、參變量代換、求解不等式)等內容，對學生計算能力要求較高.在解決解析幾何問題時，要注重“數”與“形”的統一，在計算時，要結合圖形自身的特點，充分挖掘圖形的幾何結論，這往往是解決問題的突破口和簡化解題過程的有效方法.比如，涉及圓的問題時，注重運用圓的相關幾何性質，對于直線與圓的位置關系要強化幾何處理，淡化代數處理方法，解析幾何獨有的特點，最培養學生的運算能力起到了獨特的作用.

　　課標解讀

　　1.整體定位

　　“解析幾何初步”研究的問題是直線和圓，及其之間的關系，還有空間直角坐標系的概念.高中階段解析幾何內容的分布，除了“解析幾何初步”外，在選修系列1,2中，都延續了解析幾何的內容，設計了“圓錐曲線與方程”.在選修系列4的《幾何證明選講》中，還將繼續研究圓錐曲線.研究圓錐曲線有兩種方法：綜合幾何的方法和解析幾何的方法.在選修系列4的《幾何證明選講》中，運用了綜合幾何的方法.

　　“解析幾何初步”是要依托直線的方程與圓的標準方程，讓學生把握用代數方法解決幾何問題的基本步驟，初步形成代數方法解決幾何問題的能力，幫助學生理解解析幾何的基本思想.

　　2.具體要求

　　(1)直線與方程

　　①在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素;

　　②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式;

　　③能根據斜率判定兩條直線平行或垂直;

　　④根據確定直線位置關系的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，體會斜截式與一次函數的關系;

　　⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標;

　　⑥探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.

　　(2)圓與方程

　　①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程;

　　②能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系;

　　③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.

　　(3)在平面“解析幾何初步”的學習過程中，體會用代數方法處理幾何問題的思想.

　　(4)空間直角坐標系

　　①通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會空間直角坐標系刻畫點的位置;

　　②通過表示特殊長方體(所有棱分別與坐標軸平行)頂點的坐標，探索并得出空間兩點間的距離公式.

　　《標準》中對“解析幾何初步”的要求只是階段性要求，在選修系列1,2中，還將進一步學習圓錐曲線與方程的內容.因此，對本部分內容的教學要把握好“度”，特別是對于解析幾何思想的理解不能要求一步到位.

　　3.課標解讀

　　(1)要注重知識的發生與發展的過程

　　解析幾何初步的教學，要注重知識的發生與發展的過程，首先將幾何問題代數化，用代數的語言描述幾何元素及其關系，進而將幾何問題代數化;處理代數問題;分析代數結果的幾何含義，最終解決幾何問題.同時，應強調借助幾何直觀理解代數關系的意義，即對代數關系的幾何意義的解釋.讓學生在這樣的過程中，不斷地體會“數形結合”的思想方法.

　　數學課程應返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質，要通過學生的自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法.在解析幾何初步的教學中，同樣要通過觀察、操作探索，確定直線與圓的幾何要素，并由此探索掌握直線與圓的幾種形式的方程，探索掌握一些距離公式.

　　比如如何在平面直角坐標系中描述直線，這是解析幾何教學中遇到的第一個問題.在坐標系中，一條直線或者與x軸平行，或者與x軸相交.與x軸平行的直線的代數特征很簡單，這條直線上的點的縱坐標是個常數，即y=a.除了x=a，還有什么方法可以刻畫與x軸相交的直線?也就是如何用代數的方法刻畫直線的斜率.

　　(2)在高中階段，直線的斜率一般一般有三種表示方式

　　①用傾斜角的正切

　　這是傳統教材的方式，由于傾斜角是大于等于0°小于180°，傾斜角與其正切一一對應的(90°除外);當然，也可以用傾斜角的余弦值表示直線的斜率，傾斜角與其余弦值是一一對應的，但這種表示要復雜一些，一般都選擇使用傾斜角的正切.

　　這需要先引入0°到180°的正切函數的概念.

　　②用向量

　　內容結構

　　1.知識內容

　　2. 章節安排

　　本章教學時間約需18課時，具體分配如下：

　　1 直線與直線的方程 8課時

　　2 圓與圓的方程 5課時

　　3 空間直角坐標系 3課時

　　小結與復習 2課時

　　重點分析

　　本章的重點有兩個：一是確定直線和圓的幾何要素(包括直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系的幾何要素以及直線與圓的方程中各參數的幾何意義);二是把幾何要素代數化，用代數方程及其解刻畫直線與圓及其位置關系.

　　教材特色

　　1.突出幾何直觀性，解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質.在這一主導思想的指導下，教材在多方面突出了代數語言的幾何對象，將幾何問題代數化的過程，正是認識與理解“幾何→代數→幾何”這一循環上升過程的體現.內容安排上重視幾何直觀，如在直線與直線方程、圓與圓的方程中，教材編排了探索確定直線和圓的幾何要素的內容.在空間直角坐標系的建立一節中，編排了一些圖片，這樣的編排目的在于讓學生能夠充分感受幾何直觀，強調代數關系與圖形的對應，同時感受數學與生活的內在聯系.

　　2.加強學生對圖形的認識理解和感悟能力的培養.學生對圖形的把握是指可以直觀地從圖形中提取有價值的信息，并對它們進行合情推理.這樣的編排不僅培養學生的推理能力，同時也關注幾何與代數的轉換能力.

　　3.從具體問題出發，對每一個要研究的問題幾乎都是先給出一個具體問題，在具體問題的解決體驗中抽象出一般的結論.從具體問題出發，明確地畫出圖形，感受到用代數研究的是一個真切的幾何問題.從具體問題出發也有利于從特殊到一般的思維方式的培養.

　　4.對一些重要的數學結論，盡可能低給出幾何解釋.例如學習兩條直線垂直，在斜率存在的條件下，一般都只從代數角度推導出即可，本教材中，我們利用射影定理給出了這一結論的幾何解釋，以幫助學生更直觀地理解這一結論.

　　學法指導

　　1.在學習過程中，引導學生關注用解析幾何解決問題的基本步驟：(1)將幾何問題用代數語言表達;(2)處理數量關系;(3)分析計算結果，得出幾何結論。在學習中，邊體會、邊理解、邊小結。

　　2.養成畫圖習慣，對每一個問題，邊審題、邊畫圖。切忌單純地列方程、解方程。

　　3.帶著如下問題，閱讀課本，：“什么是解析幾何的基本思想”和“笛卡爾對解析幾何的貢獻”;又如“描述直線的關鍵因素是什么”“確定一條直線的準確位置最少需要幾個條件”。

　　4.在本章小結階段，繪制“知識內容表格”，學生間交流并討論“不同的表格有什么特點”。通過這種方式，引導學生學書中自然地總結出數學基本思想和數學的主要內容，獲得學習經驗。

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