小學五年級上數(shù)學北師大版《點陣中的規(guī)律》教案
教學內(nèi)容：
北師大版小學數(shù)學五年級上冊第82——83頁的內(nèi)容。
教學目標：
1、結合具體的圖形，明確什么是“點陣”，了解點陣的基本知識。
2、能在具體的觀察活動中，發(fā)現(xiàn)點陣中隱藏的規(guī)律，體會圖形與數(shù)的聯(lián)系。
3、培養(yǎng)學生觀察、概括與推理的能力。
4、了解數(shù)學發(fā)展的歷史，感受數(shù)學文化的魅力。
教學重點：
通過觀察活動，引導學生探索發(fā)現(xiàn)“點陣”中隱藏的規(guī)律。
教學難點：
能從不同的角度觀察到點陣圖形的不同排列規(guī)律，并能把觀察到的規(guī)律用算式表示出來。
教學準備：
�。◣煟┒嗝襟w課件；（生）彩筆。
教學過程：
一、談話引入
�。ɡ蠋熢诤诎迳袭孅c）今天給大家請來了一位圖形朋友——點，不要小看了這個小小的點，早在2000多年前，古希臘的數(shù)學家們就是從這樣一個小小的點開始研究，發(fā)現(xiàn)了由許多個這樣的點組成的點子圖形中的規(guī)律，還給這些圖形取了一個好聽的名字，叫點陣。同學們想不想過一把當數(shù)學家的癮，自己來尋找這些規(guī)律？今天，我們就一起來探究點陣中隱含的規(guī)律。（板書課題：點陣中的規(guī)律）
二、探究正方形點陣中的規(guī)律
1、探究正方形點陣的規(guī)律。
�。�1）我們一起來看看數(shù)學家們當年研究的點陣圖，邊看邊說出各個點陣的點子數(shù)。
教師依次出示前四個正方形點陣圖，并逐步引導學生想像、猜測：下一個點陣圖會是什么樣子呢？
�。S著點陣圖的依次出現(xiàn)，學生的思維逐漸活躍，當?shù)谌齻�點陣圖出現(xiàn)的時候，學生已經(jīng)忍不住地說出了點數(shù)。說明學生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了正方形點陣中的規(guī)律。但這時，教師沒有急于讓學生發(fā)表自己的看法，而是給學生留出了完善自己想法的時間，同時也暗示學生：規(guī)律的呈現(xiàn)不能依靠一個或幾個圖形來歸納，應該有耐心地繼續(xù)自己的觀察活動。）
�。�2）除了能說出各個點陣的點數(shù)之外，仔細觀察點陣圖：你還有什么其它的發(fā)現(xiàn)？
（學生能夠發(fā)現(xiàn)各個點陣的形狀是正方形的，還能用1×1、2×2、3×3、4×4這樣的算式來表示每個點陣的點數(shù)。）
�。�3）根據(jù)剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，想：第五個點陣是什么樣子，獨立畫出來，并用算式表示點數(shù)。
�。▽W生獨立畫出第五個5×5的點陣圖）
（4）思考：照這樣的規(guī)律繼續(xù)畫下去，第100個點陣的點數(shù)如何用算式來表示？第n個呢？
�。ńY合發(fā)現(xiàn)的.規(guī)律，引導學生逐步完善自己的想法，建立總結正方形點陣規(guī)律的模型。）
小組討論：你覺得每個正方形點陣的點子總數(shù)與什么有關系？
（學會用簡單的語言表述自己的想法，使得初步的形象感知得到提升）
小結：每個正方形點陣的點子總數(shù)可以看作是一個相同數(shù)字相乘的積，這個數(shù)字與點陣的序號有關，與每個正方形點陣每排的點子數(shù)也有關系。
2、剛才我們研究了一組正方形點陣中隱含的規(guī)律，那么對于同一個點陣來說，如果劃分的方法不同，所呈現(xiàn)的規(guī)律也就不同。
�。�1）請大家仔細觀察第五個正方形點陣中點的劃分方法，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
學生會有如下發(fā)現(xiàn)
�、偈怯谜劬�劃分開的。
②每條線內(nèi)的點分別是1、3、5、7、9。
�、圻@個正方形點陣的點數(shù)就可以表示為：1＋3＋5＋7＋9=25。
�。�2）如果把每條線所包圍的點子數(shù)記下來，如何用算式來表示？
第一條線： 1 = 1；
第二條線： 1＋3 = 4；
第三條線： 1＋3＋5 = 9；
第四條線： 1＋3＋5＋7 = 16；
第五條線： 1＋3＋5＋7＋9 = 25；
�。�3）每條線所包圍的點子數(shù)與前面研究的一組正方形點陣的點子數(shù)有什么關系？（正好是第一到第五個點陣的點子數(shù)。）
�。ǖ诙�、三個問題需要老師引導，學生自己難以發(fā)現(xiàn)，尤其是第三個問題，學生很難想到它們和開始時依次出現(xiàn)的幾個正方形點陣的點數(shù)之間的關系。當學生想不到這種聯(lián)系時，是否一定要引導？）
�。�4）思考：表示這個正方形點陣的點數(shù)的算式有什么特點？
（這個點陣的點子總數(shù)可以看作是連續(xù)奇數(shù)的和。）
�。�5）如果按這樣的劃分方法劃分第六個正方形點陣，它的點數(shù)該如何表示？
1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36；
（6）前面老師是把這個5×5的正方形點陣用折線進行了劃分，你們還有哪些不同的劃分的方法？在用算式表示上有什么規(guī)律？
學生的劃分有以下幾種
�、贆M向劃分：用算式表示為5＋5＋5＋5＋5；
②豎向劃分：用算式表示為5＋5＋5＋5＋5；
③斜向劃分：用算式表示為1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1；
至于前面兩種方法，都可以簡單地表示為：5×5；重點引導學生討論第三種劃分方法，觀察這個算式，你們發(fā)現(xiàn)了什么？
學生的發(fā)現(xiàn)如下
算式里最大的數(shù)是5；
從1開始加到5再加回到1；
這個算式是兩邊對稱的；
這個點陣的點數(shù)是中間那個數(shù)字5乘5的積；
教師引導：照這樣的規(guī)律類推，第六個正方形點陣的點數(shù)如何表示？第9個呢？第n個呢？
�。ㄔ谶@里把尋找不同劃分方法的任務交給學生，既是學生前面探究過程思維的延續(xù)，又體現(xiàn)了學生學習的自主性，還用另一種方式解讀了“練一練”中的第一題。培養(yǎng)了學生從不同的角度去發(fā)現(xiàn)問題，總結概括規(guī)律的能力。）
三、延伸應用，形成策略
1、除了我們剛才研究的正方形點陣，請大家猜猜看，還會有什么形狀的點陣呢？
�。▽W生列舉了長方形點陣、三角形點陣、圓形點陣、橢圓形點陣等等。）
2、請大家嘗試運用前面學會的方法探究長方形點陣規(guī)律。
�。�1）小組合作研究：如何用算式表示每個長方形點陣的點子數(shù)？
學生通過討論很快達成共識
1×2；2×3；3×4；4×5；
（2）請你獨立畫出第五個長方形點陣并用算式表示出點數(shù)。
�。▽W生獨立畫圖并寫出算式，互相交流。）
算式表示為：5×6；
（3）思考討論：你們覺得自己所寫的算式中的數(shù)字與圖形中的點子之間有什么關系？
�。▽W生的發(fā)現(xiàn)為：乘法算式中的第二個因數(shù)總是比第一個因數(shù)多 1，第一個因數(shù)是長方形點陣的豎排點數(shù)，第二個因數(shù)是長方形點陣的橫排點數(shù)。并沒有發(fā)現(xiàn)第一個因數(shù)與點陣序號間的關系，因此，當要求他們寫出18個點陣的點數(shù)時，出現(xiàn)了兩種不同的答案：17×18、18×19。在爭論各自的理由時，學生的注意力才聯(lián)系到了點陣的序號與算式的關系，從而確定了正確答案。）
（4）照這樣繼續(xù)寫，你能寫出第n個長方形點陣的點數(shù)嗎？
學生可以很順利地寫出：n×（n＋1）。
3、看來對于任何一個點陣，只要我們認真觀察研究，總能發(fā)現(xiàn)其獨特的規(guī)律。在小組內(nèi)研究三角形點陣中的規(guī)律，要求
�。�1）個人思考活動：觀察給出的四個三角形點陣的規(guī)律，畫出第五個三角形點陣。
�。�2）小組討論：對自己畫出的第五個三角形點陣進行劃分，你能想到哪些不同的劃分方法？分別用算式表示點數(shù)。
（學生活動）
全班交流
劃分一：橫向劃分，1＋2＋3＋4＋5＝15；
劃分二：豎向劃分，1＋2＋3＋4＋5＝15；
劃分三：斜向劃分，1＋2＋3＋4＋5＝15；
劃分四：折線劃分，1＋5＋9＝15；
（對于前面的三種劃分方法，都在我的預設之內(nèi)，學生到此，已經(jīng)很輕松地用語言表述出自己的想法：這樣的三角形點陣的點數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和。而對于第四種劃分方法，是我沒有想到的。有一個孩子卻用非常強烈地要求，表達了自己的這種劃分方法，并且說出了這個算式依次遞加4的規(guī)律。）
4、同學們真了起！真正具有未來數(shù)學家的風范，用自己的聰明才智，發(fā)現(xiàn)并總結了各個不同的點陣圖中隱藏的規(guī)律。那么你覺得應該從哪些方面來探究點陣的規(guī)律？
學生交流
仔細觀察點陣的形狀；
數(shù)清每一行的點子數(shù)；
看清前后兩個點陣的變化……
（在這里不需要學生說出多么專業(yè)的、深奧的數(shù)學原理，只是引導學生對自己探究性學習方法的一個總結，盡管語言可能不夠簡練，總結不夠到位，只要學生用自己的語言在表述，就是對學生思維訓練的一個提升，一種飛越。）
四、課堂總結
1、點陣的知識在生活中有著廣泛的應用，比如北京奧運會開幕式上的“擊缶表演”、“太極表演”等，都是把一個人看作了一點，來排列有規(guī)律的隊形。你還知道什么地方運用了點陣的相關知識？
五子棋、閱兵式的方隊、節(jié)日的花壇……
2、課后繼續(xù)搜集點陣的相關資料，下節(jié)課繼續(xù)交流。
（在這里，把學生的課堂學習延伸到生活，鏈接到學生已有的相關生活經(jīng)驗，然后讓學生在生活中繼續(xù)尋找哪里用到點陣的知識，體現(xiàn)了數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，數(shù)學來源于生活，又應用于生活。）
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