一年級上冊經典例題講解

時間：2024-09-20 12:03:08

一年級上冊經典例題講解

一年級上冊經典例題講解

　　計數枚舉法經典例題講解

　　解應用題時，為了解題的方便，把問題分為不重復、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達到解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。

　　用列舉法解應用題時，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時也要畫圖。

　　例13 有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數并入第一組。這時，三組的人數一樣多。問原來各組有多少個小朋友？（適于五年級程度）

　　解：三個小組共72人，第三次并入后三個小組人數相等，都是72÷3=24（人）。在這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數并入第一組時，第一組應是24÷2=12（人），第三組應是（24+12）=36（人），第二組人數仍為24人；在第二次第二組未把與第三組同樣多的人數并入第三組之前，第三組應為36÷2=18（人），第二組應為（24+18）=42（人），第一組人數仍是12人；在第一次第一組未把與第二組同樣多的人數并入第二組之前，第二組的人數應為42÷2=21（人），第一組人數應為12+21=33（人），第三組應為18人。

　　這33人、21人、18人分別為第一、二、三組原有的人數，列表3-6。

　　表3-6

　　答：第一、二、三組原有小朋友分別是33人、21人、 18人

　　小學數學經典詩題講解百例之九十一

　　（依據：《孫子問題》；編詩：陳鋼）有物不知數，讓我數一數；三個三個數，剩二好孤獨；五五數剩三，七七又二單；此物多少數，誰能說清楚？

　　【解說】這是依據《孫子算經》上有名的“孫子問題”（又稱“物不知數題”）編寫而成的。原來的題目是：

　　“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？”

　　用通俗的話來說，題目的意思就是

　　有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們三個三個地數，會剩下2個；五個五個地數，會剩下3個；七個七個地數，也會剩下2個。這些物品的數量至少是多少個？

　　（注：詩題及題目原文都無“至少”二字，但“孫子問題”都是些求“最少”或者求“至少”的問題，否則就會有無數多個答案。所以，解釋題目意思時，在語句中加上了“至少”二字。）

　　《孫子算經》解這道題目的“術文”和答案是：

　　“三三數之剩二，置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十減之，即得。”“答曰：二十三。”

　　這些話是什么意思呢？用通俗的話來說，就是：

　　先求被3除余2，并能同時被5、7整除的數，這樣的數最小是140；

　　再求被5除余3，并能同時被3、7整除的數，這樣的數最小是63；

　　然后求被7除余2，并能同時被3、5整除的數，這樣的數最小是30。

　　于是，由140＋63＋30=233，得到的233就是一個所要求得的數。但這個數并不是最小的。

　　再用求得的“233”減去或者加上3、5、7的最小公倍數“105”的倍數，就得到許許多多這樣的數：

　　｛23，128，233，338，443，…｝

　　從而可知，23、128、233、338、443、…都是這一道題目的解，而其中最小的解是23。

　　答：這些物品的數目至少是23個。

　　需要指出的是，在《孫子算經》上，有一段關于這類題目的解題“術文”：

　　“凡三三數之剩一則置七十，五五數之剩一則置二十一，七七數之剩一則置十五，一百六以上以一百五減之，即得。”

　　（注：古稱“106”和“105”為“一百六”和“一百五”，而稱“160”和“150”為“一百六十”和“一百五十”。所以，這里的“一百六”和“一百五”分別指“106”和“105”，而不是“160”和“150”。）

　　明代著名的大數學家程大位，在他所著的《算法統宗》中，對于這種解一般“孫子問題”的方法，還編出了四句歌訣，名曰《孫子歌》：

　　三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝；七子團圓正半月，除百零五便得知。

　　歌中的“廿”，讀音與“念”音相同。“廿”即二十的意思。

　　這一歌訣的“詩意”，我們可以不去理會，只需注意它的數字就行了。歌訣中的每一句話，都指出了一步解題方法：

　　“三（3）人同行七十（70）稀”——是說除以3所得的余數，要用“70”去乘它；

　　“五（5）樹梅花廿一（21）枝”——是說除以5所得的余數，要用“21”去乘它；

　　“七（7）子團圓正半月（15）”——“半月”是一個月30天的一半，即15日，這是說，除以 7所得的余數，要用“ 15”去乘它；

　　“除百零五（105）便得知”——這是說要把上面所乘得的三個數相加，加得的和如果大于105，便應減去105，或者減去105的倍數。這也就是《孫子算經》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）減之”。這樣得出的差，便是所要求的這個最小的未知數了。

　　運用這一歌訣來解答這道“物不知數”問題，便是

　　2×70+3×21+2×15=140+63+30=233 233-105-105=23（答略）

　　不過，用這種方法解這類問題，有它的局限性，它只能解答用3、5、7作除數的題目，遇到用其他數作除數的算題，它就行不通了。這一點必須引起我們的注意。

　　這種“物不知數（孫子）問題”，在我國古代流傳的算法名稱很多。宋朝周宓稱它為“鬼谷算”、“隔墻算”（之所以稱“鬼谷算”，大概是因為它與傳說中的哲學家鬼谷子有某些關系）；13世紀的大數學家楊輝則稱它為“剪管術”。南宋數學家秦九韶將它推廣，并又發現一種算法，稱它為“大衍求一術”。它被傳入西方后，外國人又稱它為“中國剩余定理”。但是大多數人較為通俗的叫法，還是稱它為“韓信點兵”（也有稱“秦王暗點兵”的）。傳說我國漢朝的大將韓信，計算士兵數目的方法十分特別，他不是五個五個或十個十個地數，也不要士兵“一、二、三、四、五……”地報數，而是叫他們排起隊伍，依次在他面前列隊行進：先是一排三人，再是一排五人，然后是一排七人。他只將三次所余的士兵記下來，就知道了士兵的總數。他旁邊的人見他并沒有數士兵的數目，有時甚至還閉上了眼睛，而居然知道士兵的總數，都感到十分驚奇。所以，后人就把這種算法稱為“韓信點兵”了。“韓信點兵問題”在數學史上，是個極有名的問題。西洋人直到18世紀才被瑞士數學家歐拉發現這一問題的解題規律。只拿我國南宋秦九韶的研究與他們相比，他們也晚了五百年左右的時間。

　　【思考、練習】

　　1．有一道用詩的形式表達的謎題（陳邦新整理）是：

　　花生若干粒，三數即余一；五數無剩余，七數余三粒。

　　你能猜出得數是多少粒嗎？（答案：10粒）

　　2．有一道民間詩題如下（陳邦新整理）：

　　秦皇暗點衛隊兵，三三數來余二名；五數七數都余一，衛隊共是多少人？

　　請仿照上面的方法解出這道題目。（答案：71人）

　　3．有總數不滿五十人的一隊士兵，“一至三報數”，最后一人報“一”；“一至五報數”，最后一人報“二”；“一至七報數”，最后一人也報“二”。這隊士兵有多少人？（答案：37人）

　　4．用三輪小貨車運一批糧食，每次運7袋，最后余下2

　　袋；每次運8袋，最后余下3袋；每次運9袋，最后余下1袋。這批糧食至少有多少袋？（答案：163袋）

　　5．有一個數，被5除余2，被7除余6，被11除余9。那么這個數最小是多少？（答案：97）

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　　小學數學經典詩題講解百例之三十一

　　（中國民間詩題）李白沽酒探親朋，路途遙遠有四程；一程酒量添一倍，卻被書童喝六升；行到親朋家里面，半點全無空酒瓶。借問高明能算士，瓶內原有多少升？

　　【解說】

　　這也是根據李白喜愛飲酒的特點而編出來的一道著名的民間數詩算題，實際上也是不一定真有此事的。題中的“沽”，讀音與“姑”字相同。“沽”是“買”的意思，“沽酒”就是“買酒”。“程”指道路的段落，“四程”即四段路。“書童”指舊社會侍候文人墨客的小仆人。題目的意思可以是

　　李白叫書童帶著盛有一定酒量的酒瓶，隨他一同到遙遠的親朋好友家中去做客。這里到朋友家有四段路程，每經過一段路程，李白都要將瓶中的酒量添加1倍。但是，調皮的小書童在每次買酒以后，都要偷偷地將瓶內的酒喝掉6升。這樣，他們邊走邊買并邊被書童偷喝，走到朋友家的時候，酒瓶里一點酒也沒有了。問：他們出發的時候，原來酒瓶里的酒有多少升？

　　我們可以用方程來解答這道題目，因為這樣比較簡便。

　　設原來瓶內的酒量為x升，第一程酒量添一倍以后，就有酒2x升；“卻被書童喝六升”后，酒量就只有（2x-6）升了。因“路途遙遠有四程”，走到朋友家時，“半點全無空酒瓶”，故可布列方程為

　　｛[（2x-6）×2-6]×2-6｝×2-6=0

　　解這一方程，得X=5.625，即酒瓶內原來有酒5.625升。

　　（答略）

　　【思考、練習】

　　1. 一位老師的年齡加上1以后乘以3，其積的一半加上40，再用所得和的一半的一半，減去25，得數便是0。這位老師現年多少歲？（答案：39歲）

　　2．甲乙丙三人各有 2分的硬幣若干枚。開始，甲把自己 2分的硬幣拿出一部分分給乙丙，使乙丙的硬幣數各增加1倍；然后，乙也照此辦理，使甲丙的2分硬幣數各增加1倍；接著，丙也照此辦理。使甲乙的2分硬幣各增加1倍。最后，三人都用去2分硬幣8枚，這時三人2分的硬幣數便都是O枚。問：甲乙丙三人原來各有2分硬幣多少枚？（答案：甲13枚，乙7枚，丙4枚）

　　小學數學經典詩題講解百例之八十一

　　（依據：日本算題；編詩：鐵夫）大杯小杯一行行，杯杯都來盛砂糖；白糖四百二十克，五大三小恰裝完；若用五小加三大，三百八十可盛光。大小杯子各一個，各可容納多少糖？

　　【解說】

　　這是依據日本一道較為著名的算題編寫而成的。這道題目原來是日本大阪女子學院附屬中學的一道初中招生試題，題目翻譯過來可以是

　　有大杯和小杯若干個，它們的容量大小分別相同。現在往5個大杯和3個小杯里放滿砂糖，總共可放420克。又往3個大杯和5個小杯里放滿砂糖，總共可放380克。問：一個大杯和一個小杯，分別可以放砂糖多少克？

　　由題意可知，兩個大杯比兩個小杯，要多裝砂糖

　　420-380=40（克）

　　那么，一個大杯比一個小杯，多裝的砂糖就是

　　409÷2=20（克）

　　因為“五大和三小”共能裝420克，所以，從420克中減去5個20克，得到的差就相當于（5+3）個小杯的容量。故一個小杯的容量就是

　　（420-20×5）÷（5+3）=320÷8=40（克）

　　一個大杯子的容量就是40+20=60（克）