垂直于弦的直徑教學設計
垂直于弦的直徑教學設計
一、教材分析
（一）本課教學內容分析
本節課要研究的是圓的軸對稱性與垂徑定理及簡單應用，垂徑定理既是前面圓的性質的重要體現，是圓的軸對稱性的具體化，也是今后證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系的重要依據，同時也是為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據，所以它在教材中處于非常重要的位置。
（二）教學目標
根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知結構和心理特征 ，我制定如下教學目標
1、知識和技能：
①通過觀察實驗，使學生理解圓的軸對稱性；
②掌握垂徑定理，理解其證明，并會用它解決有關的證明與計算問題；
③掌握輔助線的作法——過圓心作一條與弦垂直的線段。
2、過程和方法：
①通過定理探究，培養學生觀察、分析、邏輯思維和歸納概括能力；
②向學生滲透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3、情感態度和價值觀：
激發學生探究、發現數學問題的興趣和欲望，以及對學生進行數學美的教育。
（三） 教學重點、難點
重點：垂徑定理及其應用
難點：垂徑定理的證明與垂徑定理的理解及靈活應用.
二、學習者特征分析
一般特征：學生是農村校的九年級學生，班級學生在學習方面之間存在一定的差異；但學生對生活中隱含的數學問題興趣濃厚。
初始能力：學生在小學學習“圓的認識”和“軸對稱圖形”時，已經對圓的軸對稱性有了基本的認識與了解。但對對稱軸及軸對稱的性質應用理解不足。
信息素養：大部分學生的信息素養一般。
三、教學策略闡述
1.情景創設策略：通過生活中的圖片，有效激發學生學習的興趣和求知欲，創設寬松活潑的課堂教學氣氛，維持學生學習的動機。
2．類比啟發策略：在完成教學要求的基礎上，通過設置與生活實際緊密聯系的問題情境，鞏固提高學生運用知識解決生活問題的能力。
3．引導探究策略：學生通過小組合作，探索出垂徑定理，充分發揮學生的主體作用。
四、教學過程
一、情景導入，激疑引趣
1介紹和展示中國石拱橋中由隋代工匠李春建造的趙州橋（如掛圖）。
2該實例中建立與本課題密切有關的數學問題
聆聽背景介紹和欣賞石拱橋的圖形，并思考教師提出的問題
掛圖
以同學們所熟知的趙州橋入手,并從該實例中建立與本課題密切有關的數學問題.這樣既能激發學生的興趣,又能引發學生更深層次的思考.使學生認識到數學總是與現實問題密不可分,將實際問題數學化,可讓學生從一些簡單實例中不斷體會從現實世界中尋找數學模型,建立數學關系的方法.
二、嘗試誘導，發現定理
1、活動：讓學生拿出事先準備好的圓形紙片，想想能否通過折疊的方法找到該圓的圓心？為什么？
2、教師演示線段AB的運動變換。
3、讓學生大膽提出猜想。
學生通過找圓心的游戲復習了圓的軸對稱性
學生通過線段AB的運動變換很自然地渡到垂直于弦的直徑，經歷了由特殊到一般的探索過程，并通過實驗--觀察--分析--猜想，主動地探索垂徑定理的知識
利用多媒體播放折疊過程和線段AB的運動變換過程
教學內容重新整合，將圓的軸對稱性的學習變成了操作性強，又具有趣味性的“找圓心”問題，激發了學生的求知欲望，調動了學生學習的積極性，通過線段AB的運動變換很自然地渡到垂直于弦的直徑，讓學生經歷了由特殊到一般的探索過程，這符合學生的認知規律，引導學生通過實驗--觀察--分析--猜想，主動地探索垂徑定理的知識。這一過程突出知識地產生過程，教會學生動眼看、動手做、動腦想、動口說，主動參與到教學活動中，這樣做有利于發揮學生的主動性，發展他們的創造性，為達到本課的教學目標奠定了堅實的基礎
三、引導探究，證明定理
教師板書出已知、求證并引導學生從以下兩方面尋找證明思路，然后利用疊合法即可證出。
根據上面的證明，請學生自己用文字語言和符號語言進行歸納，并將其命名為“垂徑定理”。
讓學生觀察圖形（如圖4(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它們是否適用于“垂徑定理”？若不適用，說明理由；若適用，能得到什么結論。
學生在教師的引導下進行定理的證明
根據上面的證明，學生自己用文字語言和符號語言進行定理歸納
學生觀察教師給出的定理的變式圖形，以強化對定理基本圖形的理解
1、在學生動手操作—折紙和演示的基礎上，利用圓的軸對稱性，采用疊合法證明垂徑定理是學生容易接受的，
目的是既使學生重視證明表述，又加深對它的發現與理解。
2、讓學生經歷了實驗—觀察—猜想—證明，學生的思維逐步被展開，現在可以引導學生證明并歸納定理，歸納定理時采用了文字語言和符號語言兩種形式
3、強化對基本圖形的理解，從特殊到一般，培養學對幾何圖形的化歸思維能力。幾何定理中文字語言、符號語言，圖形語言的相互聯系與轉換也是學生應具備的能力。
四、例題示范，變式練習
1、教師出示例題：例1 如圖，已知在⊙O中，弦AB的長8c，圓心O到AB的距離為3c，求⊙O的半徑.
講完例1后，教師總結：半徑、圓心到弦的距離及弦長三者有何關系？
2、例2 在例1圖形的基礎上，以⊙O的圓心再畫一個圓交弦AB于C、D，則AB與CD可能存在的關系？試證明
教師總結：在圓中，解弦的有關問題時，常常需要作“垂直于弦的直徑”作為輔助線，實際上，往往只須從圓心作一條與弦垂直的線段。
在教師的分析引導下學會利用垂徑定理解決相關的數學問題
把握解決此類問題的關鍵點
將例2作為例1的延伸，滲透了從“特殊”到“一般”解題思想方法，使學生體會到由淺到深，由表及里的學習過程 ，符合學生的認知規律，引導學生的解法要突出“七字口訣”的重要性及垂徑定理的優越性，.通過題組訓練使學生對垂徑定理有了更進一步認識，并掌握了有關計算、證明等方面的簡單應用，教師教學時應突出作圓心到弦的垂線段，是應用垂徑定理時常用的添加輔助線方法。
五、鞏固練習，化疑解難
教師出示課前所留的有關趙州橋橋拱半徑的問題。
趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖1），它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米，拱高（弧的中點到弦AB的距離，也叫弓高）為7.2米。請問：橋拱的半徑（即AB所在圓的半徑）是多少？
學生獨立思考，當堂練習
數學于實踐，又應用于實踐。在例題中，老師把新課引入的實際問題，在結束前引導學生運用所學知識加以解決，注重培養學生解決實際問題的能力。首尾呼應，形成一個課堂教學的整體。
六、課堂回顧，畫龍點睛
通過本節課的學習你有哪些想法和收獲？
小組討論后師生共同小結
師生共同回顧學習內容，有助于學生將知識系統化，條理化，幫助學生全面理解、掌握所學知識，同時可說明弦的中點、弧的中點都集中在垂直于弦的直徑上，對學生進行數學美育教育。
七、課后作業
結合學生的實際情況，為了更好地因材施教，我的作業題分為必做題與選做題，及時鞏固知識，達到課堂內容的延伸，調動學生學習積極性，提高學生思維的廣度，培養學生良好的學習習慣及思維品質。
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